浙江省宁波市效实中学2015届高考模拟测试数学（理）试卷

宁波效实中学

2015届高考模拟测试卷

数学（理）试题

说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

参考公式：

柱体的体积公式：V=Sh，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高.

锥体的体积公式：V=Sh，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高.

球的表面积公式：S=4πR²，其中R表示球的半径.

球的体积公式：V=πR³，其中R表示球的半径.

第Ⅰ卷（选择题共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知函数，则（ ▲ ）

A．B．C．D．

2．已知函数是定义在上的奇函数，则（ ▲ ）

A．B．C．D．

3．设不等式组表示的平面区域为，若直线上存在区域内的点，则的取值范围是（ ▲ ）

A．B．C．D．

4．已知是等比数列的公比，则“”是“数列是递增数列”的

（ ▲ ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

5．已知点为双曲线，的

左顶点，，线段交双曲线一条渐近线于点，

且满足，则该双曲线的离心率为（ ▲ ）

A．B．C．D．

6．已知在中，的最大值为（ ▲ ）

A．B.C.D.

7．已知函数在上的最大值为，则的最小值是

（ ▲ ）

A．B．C．D．

8．如图，长方体中，，，为的中点，为底面四边形内的动点，且满足，则点的轨迹的长度为（ ▲ ）

A．B．C．D．

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、 填空题: 本大题共7小题,前4题每空3分，后3题每空4分, 共36分．

9．已知集合，则▲；

▲．

10．数列的前项和满足，且，则▲，

数列的前项和▲．

11.与圆外切于点，且半径为的圆方程为▲，

若圆上恰有两个点到直线的距离为，则实数▲．

12．已知函数的一个对称中心是，则

　 ▲ 　，现将函数的图象上每一点的横坐标伸长到原来的5倍（纵坐标不变），得到函数，再将函数的图象向左平移个单位，得到函数,若

，则的值是▲．

13．边长为的正四面体的三视图中，俯视图为边长为的正三角形，则正视图的面积的取值范围是▲．

14．若实数满足，则的取值范围是▲．

15．的三边成等差，且，则的取值范围是▲．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本题满分15分）

已知向量，.若函数．

（Ⅰ）求时，函数的值域；

（Ⅱ） 在中，分别是角的对边，若,且,求边上中线长的最大值．

17．（本题满分15分）

如图，三棱锥中，平面．，点，分别为，的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）在线段上的点，且；

求直线与平面所成角的正切值．

18．（本题满分15分）

已知二次函数．

（Ⅰ）若，且函数的最大值为，求的解析式；

（Ⅱ）若在上单调递增，且的顶点在轴上，求满足

的实数的最小值．

19．（本题满分15分）

已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，点为直线

上且不在轴上的任意一点．

（Ⅰ）求周长的最小值；

（Ⅱ）设直线和的斜率分别为，直线和与椭圆的交点分别为和．

ⅰ）证明：；

ⅱ）当直线的斜率之和为时，求直线上点的坐标．

20．（本题满分14分）

正项数列满足，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）证明：对任意的，；

（Ⅲ）记数列的前项和为，证明：对任意的，．

参考答案

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的题答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．

（1） C （2） D （3） C （4） B

（5） D （6） A （7） B （8） B

二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算．前4题每空3分，后3题每空4分, 共36分．

（9），（10），

（11）,（12）,

（13）（14）（15）

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．答案：（1），值域；…………………7分

（2），…………………15分

17．答案：

1. …………5分
2. 连交于，则是的重心，且，

所以， …………9分

作于，则，所以，

所以，是直线与平面所成角. 12分

且,,,.

所以，直线与平面所成角的正切值为. …………15分

方法二：以为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.

设

令面的法向量为，则，，

得

因为平面所以得

则…………10分

面的法向量

设直线与平面所成角为，则，

直线与平面所成角的正切值为…………15分

18．解：（Ⅰ）由条件，可得

于是， …………3分

因为函数的最大值为，则且

即，故…………6分

（Ⅱ）由条件可设，其中…………8分

由，得

于是， …………10分

易知则， …………11分

令

于是…………14分

取等号的条件为：…………15分

19．（Ⅰ）令关于的对称点为则

…………5分

（Ⅱ）ⅰ）令

，

…………9分

ⅱ）设令

由得，

，

同样可算得，

由，得，整理得，

或，又因为

（舍）或

或…………15分

20．（Ⅰ）由及，所以…………3分

（Ⅱ）由

又因为在上递增，故…………7分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，，…，，相乘得

，即

故…………10分

另一方面，，

令，则

于是，，…，，相乘得

，即

故

综上，