浙江省绍兴一中2015届高三模拟考试数学（理）试卷

绍兴一中2015年高三数学理科模拟卷

本卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。考试时间为120分钟，试卷总分为150分。请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知全集为,集合,，则为 ( B )
   1. B.C.D.
      解析：，，则
2. 已知，，则是成立的 ( A)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

3.实数，满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为 （ D ）

1. 或B．或C．或D．或
   4.过双曲线左焦点，倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若线段的中点在轴上，则此双曲线的离心率为（ D ）
   1. B.C.3D.

5. 若函数有四个单调区间，则实数满足( C ) （A）（B）（C）（D）

6.已知函数与直线相交，若在轴右侧的交点自左向右依次记为，，，，则等于（A ）

A．B．C．D．

7． 如图，已知直线平面，垂足为，在

中，，点是边上的动点.

该三角形在空间按以下条件作自由移动：(1)，

(2).则的最大值为 (　C 　)

(A). (B) . (C) . (D) .

8. 已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，

设若在数列中，对任意恒成立，则实数的取值范围是（ C ）

A．B．C．D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共7小题，前4小题每题6分，后3小题每题4分，共36分。

9．已知函数,则在时的值域是 .; 又若将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象恰好关于直线对称,则实数的最小值为 .

10.已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是 ，100表面积是 。

【解析】 解析：如图所示，原几何体为：一个长宽高分别为6，3，6的长方体砍去一个三棱锥，底面为直角边分别为3，4直角三角形，高为4．因此该几何体的体积=3×6×6﹣=108﹣8=100．表面积为．

11. 已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且以为其一条渐近线，则双曲线方程为，过其中一个焦点且长为4的弦有3条

12.已知函数，则= 0；不等式的解集为______._

13. △ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且的值是 。1

解：因为 ，所以O为BC的中点，又O 为外心，所以三角形为直角三角形，所以OA=1，AB=，可得CA=1，所以=1

14. 已知数列都是公差为1的等差数列,其首项分别为,且设则数列的前10项和等于______.

15. 设为的函数，对任意，，且,,则集合A中的最小元素是______.415

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16（15分）.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，．

（1）求的值；（2）若，求△ABC的面积．

解：（1）因为，，

所以．

又由正弦定理，得，，，

化简得，． ．．．．．．．．．．．．．．６分

（2）因为，所以．

所以．

因为，

所以． 因为，

所以．．．．．．．．．．．６分

因为，，所以．

所以△ABC的面积．．．．．．．．．．．．．．．３分

17（15分）如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的AA₁=1，底面ABCD的周长为4。

⑴ 当长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积最大时，求二面角B-A₁C-D的值；

⑵ 线段A₁C上是否存在一点P，使得A₁C平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由.

.解：法一：

⑴根据题意，长方体体积为

……2分

当且仅当，即时体积有最大值为1

所以当长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积最大时，底面四边

形ABCD为正方形 ……4分

作BMA₁C于M，连接DM，BD ……………5分

因为四边形ABCD为正方形，所以与全等，故DMA₁C，所以即为所求二面角的平面角 ……6分

因为BC平面AA₁B₁B，所以为直角三角形

又，所以，同理可得，

在BMD中，根据余弦定理有：………………8分

因为，所以

即此时二面角B-A₁C-D的值是. ……………………………………………………9分

⑵ 若线段A₁C上存在一点P，使得 A₁C平面BPD，则A₁CBD ………………10分

又A₁A平面ABCD,所以A₁ABD，所以BD平面A₁AC

所以BDAC ……………………………………………………………………12分

底面四边形ABCD为正方形，即只有ABCD为正方形时，线段A₁C上存在点P满足要求，否则不存在

由⑴知，所求点P即为BMA₁C的垂足M

此时，……………………………………………………15分

法二：

根据题意可知，AA₁, AB,AD两两垂直，以AB为轴，AD为轴，AA₁为轴建立如图所示的空间直角坐标系：

1. 长方体体积为………………………2分
2. 当且仅当，即时体积有最大值为1 …………………………………3分

所以当长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积最大时，底面四边形ABCD为正方形 ……4分

则，

设平面A₁BC的法向量，则

取，得：………………6分

同理可得平面A₁CD的法向量……7分

所以，………………8分

又二面角B-A₁C-D为钝角，故值是.…………9分

（也可以通过证明B₁A平面A₁BC写出平面A₁BC的法向量）

⑵ 根据题意有，若线段A₁C上存在一点P满足要求，不妨，可得

即：…………………………12分

解得：…………………………………………………………14分

即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P，位置是线段A₁C上处. ………………………………………………………15分

18（15分）设数列，，已知，，，（）．

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：对任意，为定值；

（3）设为数列的前项和，若对任意，都有，求实数的取值范围．

试题解析：（1），又

所以是以2为首项，为公比的等比数列。所以

（2）

所以，又，所以恒成立，即为定值。

（3）由（1）（2）得：，，所以得：

19（15分）..已知三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，其中．

（1）若点B,C关于原点对称，且直线AB,AC的斜率乘积为，求椭圆方程；

（2）若三角形ABC是以A为直角顶点的直角三角形，该三角形的面积的最大值为，求实数的值．

解： （1）设B(x₀,y₀),则C(-x₀,-y₀)

所以椭圆方程为

（2）显然直线AB斜率存在。

设AB的方程为：，则AC的方程为：，

由得，解得

用“”替换“”得

故

所以，

令，则（当且仅当时等号成立），

由得

解得或（因为时，，故舍去），所以。

20（14分）.已知，且有且仅有两个不同的实根和（）.

1. 求实数的取值范围;
2. 若、且，求证：；
3. 设，对于任意、上恒有成立，

求的取值范围.

解: 1) 根据图像 翻折后 顶点值,得……….4分

2)由韦达定理知，不妨设

解1：由于、，故，

即

，

解2：、，且函数开口朝上，故，两式相加，利用基本不等式

3），所以

任取、，<,则

所以在区间上是增函数，故等价于

（这可以由上面的化入韦达定理即可得）

又因为

所以

在时奇函数且递增所以

所以，所以