海南省文昌中学2015届三模数学（文）试卷

数 学（文科）

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1．己知集合，则下列结论正确的是（ ）

A．B．C．D．

2．复数是虚数单位的实部是（ ）

A．B．C．D．

3．在锐角△中,“”是“”的（ ）

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充要条件D．既非充分又非必要条件

4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）

A．B．

C．D．

5．已知函数, 则的值为（ ）

A．1B．2C．4D．5

6．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则（ ）

A．若，，则B．若，，则

C．若，，，则D．若，，，则

7．已知函数是奇函数，且当时，，则（ ）

A．B．C．D．

8．在中，若,则（ ）

A．是锐角三角形

B．是直角三角形

C．是钝角三角形

D．的形状不能确定

9．如图所示的程序框图输出的所有点都在函数（ ）

A．的图像上

B．的图像上

C．的图像上

D．的图像上

10．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是两底边长分别为1, 2的直角梯形，俯视图是斜边为3的等腰直角三角形，该几何体的体积是（ ）

A．1

B．2

C．

D．

11．若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是（ ）

A．B．C．D．

12．函数的定义域为，数列是公差为的等差数列，且

，记，关于实数，下列说法正确的是（ ）

A．恒为负数

B．恒为正数

C．当时，恒为正数；当时，恒为负数

D．当时，恒为负数；当时，恒为正数

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．若关于x的不等式的解集是空集，则实数的取值范围是 ．

14．设变量满足约束条件，则的最大值为 ．

15．函数且的部分图像

如图所示,则的值为 .

16．在△ABC中，∠A＝60°，AC＝2，BC＝，则△ABC

的面积等于 ．

三、解答题（本大题共5小题，满分60分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。）

17.（本小题满分12分）

已知等差数列{a_n}满足a₃＝5，a₅－2a₂＝3，又等比数列{b_n}中，b₁＝3且公比q＝3．

（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；

（2）若c_n＝a_n＋b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

18.（本小题满分12分）

大家知道，莫言是中国首位获得诺贝尔文学奖的文学家，国人欢欣鼓舞。某高校文学社从男女生中各抽取50名同学调查对莫言作品的了程度，结果如下：

（Ⅰ）试估计该学校学生阅读莫言作品超过50篇的概率。

（Ⅱ）对莫言作品阅读超过75篇的则称为“对莫言作品非常了解”，否则为“一般了解”，根据题意完成下表，并判断能否有的把握认为对莫言作品的非常了解与性别有关？

19．（本小题满分12分）

如图，是边长为的等边三角形，是等腰直角三角形，，平面平面，且平面，.

（1）证明：平面；

（2）证明：.

20．（本小题满分12分）

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点. 直线

交椭圆于不同的两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）求的取值范围；

（3）若直线不过点，求证：直线与轴围成一个等腰三角形.

21．（本小题满分12分）

已知函数，（为常数，是自然对数的底数），为的导函数，且，

（1）求的值；

（2）对任意证明：；

（3）若对所有的≥0，都有≥成立，求实数的取值范围.

四、选考题（请考生在22、23、24题中任选一题作答，作答时，请注明题号；若多做，则按首做题计入总分）。(本题满分10分)

22．选修4－1：几何证明选讲

如图所示，为圆的直径，，为圆的

切线，，为切点．

（1）求证：；

（2）若圆的半径为2，求的值．

23．选修4—4：坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合．直线的参数方程为：（t为参数），曲线的极坐标方程为：．

（Ⅰ）写出的直角坐标方程，并指出是什么曲线；

（Ⅱ）设直线与曲线相交于、两点，求值．

24．选修4—5：不等式选讲

设函数

（Ⅰ）画出函数的图象；

（Ⅱ）若关于的不等式有解，求实数的取值范围．

数 学（文科）

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分)

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．14．15．－16．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（1），； （2）．

18．解：（Ⅰ）由抽样调查阅读莫言作品在50篇以上的频率为，据此估计该校学生阅读莫言作品超过50篇的概率约为…………5分

（Ⅱ）

…………………………………………………………………………… 8分

根据列联表数据得

，

所以没有75%的把握认为对莫言作品的非常了解与性别有关 . …………12分

19．解：（1）取的中点，连结、，

∵是等腰直角三角形，，

∴，， …………………………………………2分

又∵平面平面，平面平面，

∴平面， ∴由已知得平面，

∴， …………………………………………………………4分

又，∴四边形为平行四边形，

∴，

而平面，平面，

∴平面. ……………………………………………………6分

（2）∵为的中点，为等边三角形，

∴，

由（1）知平面，而平面，可得，

∵，

∴平面， ………………………………………………8分

而平面，∴，

又∵，

∴， ……………………………………………………10分

而，，∴平面，

又平面，

∴. …………………………………………………………12分

20．（1）；（2）；（3）证明详见解析.

试题解析：

（1）由已知椭圆焦点在轴上可设椭圆的方程为，（）

因为，所以，①

又因为过点，所以，②

联立①②解得，故椭圆方程为. ……………………4分

（2）将代入并整理得，

因为直线与椭圆有两个交点，

所以，解得. ………………………7分

（3）设直线的斜率分别为和，只要证明即可.

设，，

则.

所以………………9分

…………………………12分

所以，所以直线与轴围成一个等腰三角形．

21．（1）；（2）证明详见解析；（3）的取值范围是

试题解析：

（1）所以

（2）证明：令，，当，

所以当时单调递增，从而有；

所以，

所以当

（3）令，

则，令解得

（i）当时，所以，

从而对所有，;在上是增函数.

故有

即当时，对于所有，都有.

（ii）当时，对于，所以在上是减函数，从而对于有，

即，

所以，当时，不是对所有的都有成立.

综上，的取值范围是

四、选考题

22．解：（1）连接，，∵，是圆的两条切线，∴，

又∵为直径，∴，；

（2）由，∴，∴∽，

，．

23．解：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，它是以为圆心，

半径为的圆.

（Ⅱ）

24．解：（Ⅰ）见右图。

（Ⅱ）。