海南省文昌中学2015届三模数学（理）试卷

数 学（理科）

（完成时间：120分钟 试题满分：150分）

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，下列每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的代号，涂在答题卡上)

1．如果复数，则

A．|z|＝2B．z的实部为1

C．z的虚部为－1D．z的共轭复数为1＋i

2．已知集合；,则中所含元素的个数为

A．3B．6C．8D．10

3．已知映射,其中，对应法则，若对实数，在集合A中不存在元素使得，则k的取值范围是

A．B．C．D．

4．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xⁿ＋yⁿ能被x＋y整除”的第二步是

A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确(k∈N_＋)

B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确(k∈N_＋)

C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确(k∈N_＋)

D．假设n≤k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(k∈N_＋)

5．已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前项和为286，则项数为（　　）

A．24B．26C．27D．28

6．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序只能出现在第一步或最后一步，程序实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（　　）

A．种B．种

C．种D．种

7．如图给出的是计算的值的一个

程序框图，则判断框内应填入的条件是

A．

B．

C．

D．

8．已知一个空间几何体的三视图如右图所示，根据图中

标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是

A．4 cm

B．5 cm³

C．6 cm³

D．7 cm³

9．已知函数，下列结论中错误的是

A．的图像关于点中心对称

B．的图像关于直线对称

C．的最大值为

D．既是奇函数，又是周期函数

10．已知直线与抛物线交于两点，点，若，则

A．B．C．D．0

11．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F₁(－c,0)，F₂(c,0)，若双曲线上存在点P使＝，则该双曲线的离心率的取值范围是

A．(1，＋1)B．(1，)C．(，＋∞)D．(＋1，＋∞)

12．定义在R上的奇函数和定义在上的偶函数分别满足

，，若存在实数，使得

成立，则实数的取值范围是

A．B．

C．D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在答卷上）

13．已知定义在上的偶函数在单调递增，且，则不等式的解集是 ．

14．如图是一个样本的频率分布直方图,由图形中的数据可以估计众数是_______．中位数是________．

（第14题）

15．圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为________________．

16．正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为__________。

三、解答题（本大题共5小题，满分60分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。）

17．（本小题满分12分）已知函数2cos（2+）+sin2

（1）求函数的最小正周期和最大值；

（2）设△的三内角分别是、、．若＝－，且＝1，＝3，

求sinA的值．

18．（本小题满分12分）大家知道，莫言是中国首位获得诺贝尔文学奖的文学家，国人欢欣鼓舞。某高校文学社从男女生中各抽取50名同学调查对莫言作品的了程度，结果如下：

阅读过莫言的 作品数（篇）	0～25	26～50	51～75	76～100	101～130
男生	3	6	11	18	12
女生	4	8	13	15	10

（Ⅰ）试估计该学校学生阅读莫言作品超过50篇的概率。

（Ⅱ）对莫言作品阅读超过75篇的则称为“对莫言作品非常了解”，否则为“一般了解”，根据题意完成下表，并判断能否有的把握认为对莫言作品的非常了解与性别有关？

	非常了解	一般了解	合 计
男 生
女 生
合 计

19．（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱长都是2，又AA₁平面ABC，D、E分别是AC、CC₁的中点．

（1）求证：AE⊥平面A₁BD；

（2）求二面角D－BA₁－A的余弦值.

20．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆

心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．是椭圆的右顶点与上顶点，直线与椭圆相交于两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当四边形面积取最大值时，求的值．

21．（本小题满分12分）已知函数为自然对数的底数）

（Ⅰ）当时，求函数的极值；

（Ⅱ）若函数在上单调递减，求的取值范围．

四、选考题（从下列三道解答题中任选一题作答，作答时，请注明题号；若多做，则按首做题计入总分）。(本题满分10分)

22．选修4－1：几何证明选讲

如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点C、F，连接CF并延长交AB于点E．

（Ⅰ）求证：E是AB的中点。

（Ⅱ）求线段BF的长．

23．选修4－4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）

（Ⅰ）以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；

（Ⅱ）已知，圆上任意一点，求面积的最大值.

24．选修4—5：不等式选讲

设不等式的解集为,.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）比较与的大小，并说明理由.

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数 学（理科）

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分)

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答案	C	D	D	B	B	B	C	A	C	B	A	C

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13. 14. 12.5; 13 15. (x－2)²＋(y－1)²＝4 16. 4

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 解:（1）∵＝2cos（2x+）+sin2x

＝－cos2x－sin2x+sin2x ……………………3分

＝－cos2x …………………………4分

∴函数的最小正周期T==π， ………………………………5分

函数的最大值是1； …………………………6分

（2）∵＝－cos2x，

∴＝ －cosC ＝ －……………………………………7分

可得：cosC ＝ ……………………………………8分

∴sinC ＝＝……………………………………9分

∴由余弦定理可得：AB²＝BC²+AC²－2×AC×BC×cosC＝9+1－2×＝7

即得AB＝……………………………………10分

∴由正弦定理：

可得：sinA＝＝＝． ………………………………12分

18. 解：（Ⅰ）由抽样调查阅读莫言作品在50篇以上的频率为

，

据此估计该校学生阅读莫言作品超过50篇的概率约为…………5分

（Ⅱ）

……………………………………………………………… 8分

根据列联表数据得

，

所以没有75%的把握认为对莫言作品的非常了解与性别有关. …………12分

19．（1）证明：以DA所在直线为x轴，过D作AC的垂线为y轴，DB所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），C（﹣1，0，0），E（﹣1，﹣1，0），

A₁（1，﹣2，0），C₁（﹣1，﹣2，0），B（0，0，）……………………2分

∴=（﹣2，﹣1，0），=（﹣1，2，0），=（0，0，﹣）……3分

∴…………………………………………4分

∴…………………………………………5分

又A₁D与BD相交

∴AE⊥面A₁BD …………………………………………6分

（2）解：设面DA₁B的法向量为=（x₁，y₁，z₁），则， ……7分

取=（2，1，0） ………………………………………………8分

设面AA₁B的法向量为=（x₂，y₂，z₂），

则， …………………………………………9分

取=（3，0，） …………………………………………10分

∴cos＝＝＝…………11分

故二面角D﹣BA₁﹣A的余弦值为…………………………12分

20. 解：（Ⅰ）由题意知：＝………………………………1分

∴，

∴. ………………………………………………………………2分

又∵圆与直线相切，

∴，∴， ………………………………………………4分

故所求椭圆C的方程为……………………………………5分

（Ⅱ）设，其中，

将代入椭圆的方程整理得：， ……6分

故．① …………………………………………7分

又点到直线的距离分别为

，

．

……………………………………………… 9分

所以四边形的面积为

……………… 10分

， ……11分

当，即当时，上式取等号．

所以当四边形面积的最大值时，=2. ……………………12分

21. 解：（I）当时，，

…… 2分

当变化时，，的变化情况如下表：

		1		3
	－	0	＋	0	－
	递减	极小值	递增	极大值	递减

所以，当时，函数的极小值为，极大值为…4分

（Ⅱ）…5分

令……………………………6分

① 若，则，在内，，

即，函数在区间上单调递减；……………………7分

② 若，则，

其图象是开口向上的抛物线，对称轴为，

当且仅当，即时，在内，，

函数在区间上单调递减； ……………………………………9分

③ 若，则，

其图象是开口向下的抛物线，当且仅当，

即时，在内，，

函数在区间上单调递减. ………………………………11分

综上所述，函数在区间上单调递减时，

的取值范围是………………………………12分

四、选考题(10分).

22. (Ⅰ) 证明：由以D为圆心DA为半径作圆，而ABCD为正方形，∴EA为圆D的切线，

依据切割线定理，得EA²=EF•EC …………………………………………2分

另外圆O以BC为直径，∴EB是圆O的切线，

同样依据切割线定理得EB²=EF•EC ……………………………………4分

故AE=EB，故E是AB中点 . ……………………………………5分

（Ⅱ）解：连接BF，∵∠BEF=∠CEB，∠ABC=∠EFB

∴△FEB∽△BEC，得，

∵ABCD是边长为a的正方形，

所以BF＝a ………… 10分

23. 解：（Ⅰ）圆的参数方程为（为参数）

所以普通方程为………………………………2分

圆的极坐标方程：……………5分

（Ⅱ）点到直线的距离为

…………………………………………7分

的面积

…………………………9分

所以面积的最大值为………………………………10分

24. 解：（Ⅰ）记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝ …………3分

由－2＜－2x－1＜0 ……………………………………4分

解得－＜x＜， ……………………………………5分

则M＝(－，). ……………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得a²＜，b²＜． …………………………………7分

因为|1－4ab|²－4|a－b|²＝(1－8ab＋16a²b²)－4(a²－2ab＋b²) …8分

＝(4a²－1)(4b²－1)＞0， …………9分

所以|1－4ab|²＞4|a－b|²，故|1－4ab|＞2|a－b|. …………10分