湖北宜昌市一中2015届高三下学期三模考试数学（理）试卷A

绝密★启用前

2015年普通高等学校招生全国统一考试试题（模拟）

数 学（理工类）

本试卷4页共22题,其中15、16题为选考题。满分150分，考试用时120分钟

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的2B铅笔将答题卡上的试卷类型A后的方框图黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号图黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B铅笔图黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目的要求。

1．已知是虚数单位，复数，是的共轭复数，则的虚部为

A．2B．－ 2 C．4D．－4

2．已知集合,，命题p：；命题q：，

，则下列命题中为真命题的是

A．p∧qB．p∧qC．p∧qD．p∧q

3． 函数在点处的切线方程是

A．B．C．D．

4．下列四个结论：

①“”是“”的充分不必要条件;

②已知幂函数的图象经过点，则的值等于；

③某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样;

④设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，回归方程为

，则可以得出结论：该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg．

其中正确的结论个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

5．如图1，已知正方体ABCD－A₁B₁C_lD₁的棱长为a，动点M、N、Q分别在线段

上.当三棱锥Q-BMN的俯视图如图2所示时，三棱锥Q-BMN的正视图面积等于

1. B.
   C.D.
   6.已知,则的展开式中的常数项为
   1. B.C.D.

7．如图，在程序框图中输入n=14，按程序运行后输出的结果是

A．0 B．2 C．3 D．4

8．若数列满足，,为非零常数，则称数列为“梦想数列”．已

知正项数列为“梦想数列”，且，则的最小值是
A．2B．4C．6D．8

9．已知、是双曲线的上、下焦点，点关于渐近线的对称

点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为

A.B.C.D.

10．定义在上的函数；当时，，若

，；则P，Q，R的大小关系为

A.R＞P＞QB.R＞Q＞PC.P＞R＞QD.Q＞P＞R

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分，请将答案填写在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

1. 必考题（11-14题）
   11．已知点为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，在抛物线上，且，则的最小值是 .
   12．已知a，b，c为△ABC的三内角A，B，C的对边，向量，若，且，则角的大小为
   13．在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界），若目标函数z＝
   x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则的最大值是 .
   14．在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”．类
   似实数排序的定义，我们定义“点序”记为“”：已知和，，当且仅当“”或“且”.定义两点的“”与“”运算如下：.
   则下面四个命题：
   ①已知和，则；
   ②已知和，若，则，且；
   ③已知，，则；
   ④已知，则对任意的点，都有；
   ⑤已知，则对任意的点，都有.
   其中真命题的序号为 （把真命题的序号全部写出）.
2. 选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位

置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.）

15.（选修4-1：几何证明选讲）

如图，点A、B、C都在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB＝6，

BC＝3，CD＝4，则线段AC的长为_____．

第15题图

16.（选修4-4：坐标系与参数方程）

已知曲线的参数方程为，的极坐标方程为，则和

的公共点的坐标为 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）在锐角三角形中，分别为角的对边，且满足

.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，设角的大小为，的周长为，求函数的单调区间及函数最大值.

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱柱中，底面是矩形，且，，．若为的中点，且．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）线段上是否存在一点，使得二面角

大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．

19．（本小题满分12分）

某茶厂现有三块茶园，每块茶园的茶叶估值为6万元.根据以往经

验：今年5月12日至14日是采茶的最佳时间，在此期间，若遇到下雨，当天茶园的茶叶估值减少为前一天的一半.现有两种采摘方案：

方案①：茶厂不额外聘请工人，一天采摘一块茶园的茶叶；

方案②：茶厂额外聘请工人，在12日采摘完全部茶叶，额外聘请工人成本为3.2万元.

根据天气预报，该地区5月12日不降雨，13日和14日这两天降雨的概率均为40%.每天是否下雨不相互影响.

（Ⅰ）若采用方案①，求茶厂14日当天采茶的预期收益；

（Ⅱ）从统计学的角度分析，茶厂采用哪种方案更合理.

20．（本小题满分12分）

已知数列{a_n}中，a₂=1，前n项和为S_n，且．

（Ⅰ）求a₁；

（Ⅱ）证明数列{a_n}为等差数列，并写出其通项公式；

（Ⅲ）设，试问是否存在正整数p，q(其中1<p<q)，使b₁，b_p，b_q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由.

21．（本小题满分13分）

如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆:,设

是椭圆上的任意一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点，.

（Ⅰ）若直线，互相垂直，求圆的方程；

（Ⅱ）若直线，的斜率存在，并记为，，求证：；

（Ⅲ）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

22．（本小题满分14分）

已知函数（其中为常数）.

(Ⅰ)当时，求函数的单调区间；

(Ⅱ)当时，对于任意大于1的实数，恒有成立，求实数的取值范围；

(Ⅲ)当时，设函数的3个极值点为，且.

求证：.

2015年普通高等学校招生全国统一考试试题（模拟）

数 学

参考答案

本试卷4页共22题,其中15、16题为选考题。满分150分，考试用时120分钟

★祝考试顺利★

一、选择题：

1. 填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分，请将答案填写在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

11．12．13． 14． ①③④

15. （选修4-1：几何证明选讲） 6． 16. （选修4-4：坐标系与参数方程）

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）在锐角三角形中，分别为角的对边，且满足.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，设角的大小为，的周长为，求的单调区间及函数最大值.

解：（Ⅰ）在中，由及余弦定理得…2分

而，则………5分

（Ⅱ）由及正弦定理得，………6分

而，则.........8分

于是，…..10分

当时,的单调递增区间,单调递减区间,12分

18．（本小题满分12分）如图，在四棱柱中，底面是矩形，且，，．若为的中点，且．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）线段上是否存在一点，使得二面角为？若存在，求出的长；不存在，说明理由．

本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想，满分13分．

（Ⅰ）证明：∵，且，，

∴，…………………………………………2分

∴

∴.…………………………………………3分

又，且，

∴平面．…………………………………………5分

（Ⅱ）解：过作，以为原点，建立空间直角坐标系（如图），

则，，……………………………6分

设，平面的法向量为=，

∵，，

且

取，得=．……………………………8分

又平面,且平面,

∴平面平面.

又,且平面平面

∴平面.

不妨设平面的法向量为=．………………………10分

由题意得，……………………11分

解得或（舍去）．

∴当的长为时，二面角的值为．………………………12分

19．（本小题满分12分）某茶厂现有三块茶园，每块茶园的茶叶估值为6万元.根据以往经验：今年5月12日至14日是采茶的最佳时间，在此期间，若遇到下雨，当天茶园的茶叶估值减少为前一天的一半.现有两种采摘方案：

方案①：茶厂不额外聘请工人，一天采摘一块茶园的茶叶；

方案②：茶厂额外聘请工人，在12日采摘完全部茶叶，额外聘请工人的成本为3.2万元.

根据天气预报，该地区5月12日不降雨，13日和14日这两天降雨的概率均为40%.每天是否下雨不相互影响.

（Ⅰ）若采用方案①，求茶厂14日当天采茶的预期收益；

（Ⅱ）从统计学的角度分析，茶厂采用哪种方案更合理.

本题考查概率概念及其意义，独立事件，对立事件和互斥事件的概率，随机变量的分布列及数学期望等相关知识；考查运算求解能力，数据处理能力和应用意识，考查转化与化归和必然与或然等数学思想方法. 本题满分13分.

解：(Ⅰ)设茶厂14日当天采茶的预期收益为万元，则的可能取值为6，3，1.51分

4分

所以的分布列为

	6	3	1.5

5分

所以的数学期望为，

即茶厂14日当天采茶的预期收益为3.84万元.6分

(Ⅱ)茶厂若采用方案①，设茶厂第二天采茶的预期收益为万元，则的可能取值为6和3，

因为，7分

所以的分布列为

		3

8分

所以的数学期望为，9分

所以茶厂若采用方案①则其采茶总收益为，

茶厂若采用方案②则其采茶总收益为，11分

因为14.64<14.8，所以茶厂应该采用方案②收益高，风险小，和谐社会，提供就业岗位.12分

20．（本小题满分12分）已知数列{a_n}中，a₂=1，前n项和为S_n，且．

（1）求a₁； （2）证明数列{a_n}为等差数列，并写出其通项公式；

（3）设，试问是否存在正整数p，q(其中1<p<q)，使b₁，b_p，b_q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由．

【解析】（1）令n=1，则a₁=S₁==0． …………….2分

（2）由，即， ①

得． ②

②－①，得． ③

于是，． ④

③+④，得，即．

又a₁=0，a₂=1，a₂－a₁=1，

所以，数列{a_n}是以0为首项，1为公差的等差数列．

所以，a_n=n－1． ……………………………………………….6分

（3）解法1：假设存在正整数数组(p，q)，使b₁，b_p，b_q成等比数列，则lgb₁，lgb_p，lgb_q成等差数列，于是，．

时，<0，故数列{}()为递减数列，

时，<0，故数列{}()为递减数列，

，，即时，

又当时，，故无正整数q使得成立．….12分

解法2：同上有，，且数列{}()为递减数列，

当时，成立；当时，，

因此，由得，，此时………………………………………..12分

【注】在利用“范围”控制正整数的值时，常用求值域的方法：单调性．本例蕴含分类讨论思想．

21．（本小题满分13分）

如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆:,设是椭圆上的任意一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点，.

（Ⅰ）若直线，互相垂直，求圆的方程；

（Ⅱ）若直线，的斜率存在，并记为，，求证：；

（Ⅲ）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

解：

（Ⅰ）由圆的方程知，圆的半径，

因为直线，互相垂直，且和圆相切，

所以，即，①

又点在椭圆上，所以，② 联立①②，解得

所以所求圆的方程为．…………………………………4分

（Ⅱ）因为直线：，：，与圆相切，

所以,化简得

同理，

所以是方程的两个不相等的实数根，

有韦达定理得，

因为点在椭圆C上，所以，即，

所以，即． ……………………………………8分

（Ⅲ）方法一：（i）当直线不落在坐标轴上时,设,

因为，所以,即

因为在椭圆C上，所以， 即，

所以，整理得，

所以， 所以．……13分

方法二：（i）当直线不落在坐标轴上时,设,

联立解得

所以，同理，得，由，……10分

所以

………………11分

（ii）当直线落在坐标轴上时,显然有，……………12分

综上：……………………..13分

22．（本小题满分14分）已知函数（其中为常数）.

(Ⅰ)当时，求函数的单调区间；

(Ⅱ)当时，对于任意大于1的实数，恒有成立，求实数的取值范围；

(Ⅲ)当时，设函数的3个极值点为，且.

求证：.

解：(Ⅰ)，令可得，

易得单调减区间为，增区间为.………3分

（Ⅱ）当时，由，可得恒成立，

令，则，

，。

（ⅰ）当时，恒成立，所以在上是增函数，

所以当时，满足题意，则。

（ⅱ）当时，令解得。

当时，在上是减函数

当时，，不合题意，舍去。

综上可得实数的取值范围。………7分

(Ⅲ)由已知，对于函数，有,所以函数在上递减，在上递增。因为有3个极值点。从而所以。

当时，，，

∴ 函数的递增区间有和，递减区间有，，，

此时，函数有3个极值点，且；

∴当时，是函数的两个零点，

即有，消去有。令，

则有零点，且。所以函数在上递减，在递增。

要证明：，

又因为，所以即证，

构造函数，因为，只需证明单调递减即可。而，又。

所以在上单调递增，所以，

∴当时，。…………14分