海南省海口市海口中学2016届高三第一次模拟数学（理）试卷

湖南师大附中海口中学2016届高三第一次模拟考试

数 学（理科）

一．选择题(本大题共12小题每小题5分共60分．每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知集合，，则( )

A．B．C．D．

2.若i为虚数单位，右图中复平面内点Z表示复数，则表示复数的点是（ ）

A．EB.FC.HD.G

3.“”是“”的 条件(　 　)

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要

4．已知等差数列满足，且数列是等比数列，若，则( ).

A．B．C．D．

5．若变量x，y满足约束条件且z＝3x＋y的最大值为（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8

6．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（ ）

A．求数列的前10项和B．求数列的前10项和

C．求数列的前11项和D．求数列的前11项和

7.在△ABC中，分别为内角所对的边，且，则的值为( )

A．B．C．D．

8.1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是（ ）

A．B．C．D．

9．已知函数的图像如图所示，的导函数，则下列数值排序正确的（ ）

A．B．

C．D．

10.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（ ）

A．90种B．180种C．270种D．540种

11.如图，线段，点在线段上，且，为线段上一动点，点绕点旋转后与点绕点旋转后重合于点.设，的面积为.则的最大值为（ ）．

A．　 　 B． 2　 　C．3 　　　D．

12．椭圆的左右焦点分别为，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　 　）

A．B．C．D．

二、填空题：（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡中的指定位置）

13.已知向量，，其中，，且，则_______2_______．

14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为40

15.若圆，点和点，从点A观察点B，要使视线不被圆C挡住，则实数的取值范围是_________________

16.在平面直角坐标系中,若点P(x,y)的坐标x,y均为整数,则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形,对应的S＝1,N＝0,L＝4.

1. 图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别是　　　　;
2. 已知格点多边形的面积可表示为S＝aN＋bL＋c,其中a,b,c为常数.若某格点多边形对应的N＝71,L＝18,则S＝　　　　(用数值作答).

三、解答题：（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答题的过程写在答题卷中指定的位置）

17.（本小题满分12分）

在△ABC中，分别为内角所对的边，且满足.

（Ⅰ）求角的大小.

（Ⅱ）若，求△ABC周长的取值范围

18.（本小题满分12分）

要获得某项英语资格证书必须依次通过听力和笔试两项考试，只有听力成绩合格时，才可继续参加笔试的考试．已知听力和笔试各只允许有一次补考机会，两项成绩均合格方可获得证书．现某同学参加这项证书考试，根据以往模拟情况，听力考试成绩每次合格的概率均为，笔试考试成绩每次合格的概率均为，假设各次考试成绩合格与否均互不影响．

（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；

（Ⅱ）求他恰好补考一次就获得证书的概率；

（Ⅲ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求参加考试次数的分布列和期望值

19.（本小题满分12分）

如图，在底面是正方形的四棱锥中，底面，与相交于点，为中点，为上一点

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）确定在上的位置，使得平面，并说明理由；

（Ⅲ）当二面角的大小为时，求与底面所成角的正切值.

20.（本小题满分12分）

设椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足，且AB⊥AF₂．

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）若过A、B、F₂三点的圆恰好与直线相切，求椭圆C的方程；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，若点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，求m的取值范围．

21.（本小题满分12分）

已知函数，其中

（Ⅰ）若函数在区间恰有两个零点，求的取值范围；

（Ⅱ）当时，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记，求函数在区间上的最小值

从以下22、23、24题任选一题作答，三题都写只按22题给分

22.（本小题满分10分）选修4-1：平面几何选讲

如图，为⊙的直径，点是⊙上的一点，点是弧的中点，弦⊥于．是⊙的切线，且与的延长线相交于点，连接，交于点．

（Ⅰ）证明：△∽△；

（Ⅱ）若=+1，=1，求的长

23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

已知圆锥曲线和定点，是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求直线的极坐标方程；

（Ⅱ）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于两点，求的值．

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（Ⅰ）当=6时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若二次函数与函数的图象恒有公共点，求实数的取值范围.

参考答案

17、

18、解：设“听力第一次考试合格”为事件，“听力补考合格”为事件；“笔试第一次考试合格”为事件“笔试补考合格”为事件． ---------------1分

（1）不需要补考就获得证书的事件为A₁·B₁,注意到A₁与B₁相互独立，

则．

答：该考生不需要补考就获得证书的概率为． -----------------3分

（2）恰好补考一次的事件是

则P（）=P （） + P（）

===

（3）由已知得，，

注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得

---------------10分

参加考试次数的期望值

19、

20、解：（Ⅰ）由题意知F₁（﹣c，0），F₂（c，0），A（0，b）∵知F₁为BF₂的中点，

AB⊥AF₂∴Rt△ABF₂中，BF₂²=AB²+AF₂²，

又a²=b²+c²∴a=2c 故椭圆的离心率…………………………（3分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知得， 于是，，

Rt△ABF₂的外接圆圆心为（﹣a，0），半径r=a， 所以，解得a=2，

∴c=1，，所求椭圆方程为……………………………（6分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知F₂（1，0），l：y=k（x﹣1），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

由，代入得（3+4k²）x²﹣8k²x+4k²﹣12=0

则， y₁+y₂=k（x₁+x₂﹣2）………………（8分）

由于菱形对角线垂直， 则

故x₁+x₂﹣2m+k（y₁+y₂）=0 即x₁+x₂﹣2m+k²（x₁+x₂﹣2）=0，

………………（10分）

由已知条件知k≠0，∴

∴故m的取值范围是．………………（12分）

22、（Ⅰ）证明：∵AB为⊙O的直径，CE⊥AB，

∴=

∵点C是弧AD的中点，

∴，

∴∠ACE=∠ADC，

∴∠CAP为公共角，

∴△ACD∽△APC；

（Ⅱ）解：连接DE，

∵GD是⊙O的切线，

∴∠GDX=∠CED，

∵，

∴∠GED=∠ADE=∠CDA，

∴∠GPD=∠GDP，

∴GP=GD=+1，

∵GD²=GC•GE，

∴GE=3+2，

∴PE=GE﹣GP=2+