福建省漳州市2018届高三下学期第三次调研测试（5月）数学文

2018年漳州市高三毕业班5月质量检查测试

文科数学

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．满足的集合的个数为

1. 1B. 2C. 3D. 4
   2．复数在复平面内对应的点位于
   1. 第一象限B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3．已知函数是定义在R上的周期为6的奇函数，且满足，，则

1. B.C.D.

4．漳州某公园举办水仙花展，有甲、乙、丙、丁4名志愿者，随机安排2人到A展区，另2人到B展区维持秩序，则甲、乙两人同时被安排到A展区的概率为

1. B.C.D.

5．已知等差数列的前项和为．若，，则

1. 35B. 42 C. 49 D. 63
   6．已知实数满足则的最大值为
   A. 1B. 11　　C. 13　　D. 17
   7．为了得到函数的图象，只需将函数的图象
   A. 向右平移个单位长度　B. 向右平移个单位长度
   C. 向左平移个单位长度　D. 向左平移个单位长度
   8．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果为
   A. 2 　B. 3 C. 4 D. 5
   9．如图，网格纸的小正方形的边长是，在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何体的三视图，其中俯视图中的曲线是四分之一的圆弧，则这个几何体的体积可能是
   
   A.B.
   C.D.
   10．函数的图象大致为
   
   11．在直三棱柱中，，，，，则其外接球与内切球的表面积之比为
   1. B.C.D.
      12．已知直线与椭圆交于、两点，与圆交于、两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是
      1. B.C.D.

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知，，若，则与的夹角为 ．

14．已知双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为，则双曲线的方程为____.

15．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则曲线在点处的切线方程为______________.

16．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段的长度为，在线段上取两个点，，使得，以为一边在线段的上方做一个正六边形，然后去掉线段，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：

记第个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为，现给出有关数列的四个命题：

①数列是等比数列；

②数列是递增数列；

③存在最小的正数，使得对任意的正整数，都有；

④存在最大的正数，使得对任意的正整数，都有．

其中真命题的序号是________________（请写出所有真命题的序号）.

三．解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

在中，，.

（1）求证：是直角三角形；

（2）若点在边上，且，求．

18．（12分）

如图1所示，在梯形中，//，且，，分别延长两腰交于点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2所示．

（1）求证：；

（2）若，，四棱锥的体积为，求四棱锥的表面积.

19．（12分）

某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次50元.在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用500元，无需支付小费.现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，得下面统计表：

记x表示1台机器在三年使用期内的维修次数，y表示1台机器在维修上所需的费用（单位：元），表示购机的同时购买的维修服务次数.

（1）若=10，求y与x的函数解析式；

（2）若要求“维修次数不大于”的频率不小于0.8，求n的最小值；

（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买10次维修服务，或每台都购买11次维修服务，分别计算这100台机器在维修上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买10次还是11次维修服务？

20．(12分)

已知抛物线，且，，三点中恰有两点在抛物线上，另一点是抛物线的焦点．

（1）求证：、、三点共线；

（2）若直线过抛物线的焦点且与抛物线交于、两点，点到轴的距离为，点到轴的距离为，求的最小值．

21．（12分）

已知函数.

（1）若，求函数的极值点；

（2）若，函数有两个极值点，，且，

求证：.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分。

22．[选修：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系下，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数，且，）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，常数，曲线与曲线，的异于的交点分别为，．

（1）求曲线和曲线的极坐标方程；

（2）若的最大值为6，求的值．

23．[选修：不等式选讲]（10分）

设函数．

（1）当时,求不等式的解集；

（2）若，使得成立，求实数的取值范围．

2018年漳州市高三毕业班质量检查测试

文科数学参考答案及评分细则

评分说明：

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．

1．C 2．A 3．D 4． B 5． C 6． C

7．D 8．C 9．B 10．A 11．A 12．C

二．填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，共20分。

13．14．15．16．②④

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．解：（1）在中，，，，

由余弦定理，得2分

所以，3分

所以，所以，5分

所以，所以是直角三角形．6分

（2）设，则，，，

所以，8分

在中，，

，10分

由正弦定理得，，

所以12分

18．（1）证明：因为∠C＝90°，即AC⊥BC，且DE∥BC，

所以DE⊥AC，则DE⊥DC，DE⊥DA₁，2分

又因为DC∩DA₁＝D，

所以DE⊥平面A₁DC.3分

因为A₁F⊂平面A₁DC，

所以DE⊥A₁F.4分

又因为A₁F⊥CD，CD∩DE＝D，

所以A₁F⊥平面BCDE，5分

又因为BE⊂平面BCDE，

所以A₁F⊥BE．6分

（2）解：由已知DE∥BC，且DE＝BC，得D，E分别为AC，AB的中点，

在Rt△ABC中，，则A₁E＝EB＝5，A₁D＝DC＝4，

则梯形BCDE的面积S₁＝×(6＋3)×4＝18，7分

四棱锥A₁—BCDE的体积为V＝×18×A₁F＝12，即A₁F＝2，8分

在Rt△A₁DF中，，即F是CD的中点，

所以A₁C＝A₁D＝4，

因为DE∥BC，DE⊥平面A₁DC，

所以BC⊥平面A₁DC，所以BC⊥A₁C，所以，

在等腰△A₁BE中，底边A₁B上的高为，10分

所以四棱锥A₁—BCDE的表面积为

S＝S₁＋＋＋＋

＝18＋×3×4＋×4×2＋×6×4＋×2×2＝36＋4＋2．12分

19．解：（1）

即．4分

（2）因为 “维修次数不大于”的频率，5分

“维修次数不大于”的频率=，6分

所以若要求“维修次数不大于”的频率不小于0.8，则n的最小值为11．7分

（3）若每台都购买10次维修服务，则有下表：

此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为

2730（元）9分

若每台都购买11次维修服务，则有下表：

此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为

2750（元）11分

因为，所以购买1台机器的同时应购买10次维修服务．12分

20．（1）证明：由条件，可知，在抛物线上，是抛物线的焦点．

所以解得3分

所以，，，

所以，，所以，5分

所以、、三点共线．6分

（2）解：由条件可知，可设，

代入，得，7分

，解得．

设，，则，8分

所以，10分

当且仅当，即或时，12分

21．解：（1）的定义域为，，1分

①若，则，

所以当时，，

所以在上单调递增，

所以无极值点．3分

②若，则，

由得，.

	+	0	-	0	+
		极大值		极小值

当的值变化时，，的值的变化情况如下：

所以有极大值点，极小值点．6分

（2）由（1）及条件可知

，7分

且,,即,，8分

所以,

10分

记,，

因为当时，，

所以在上单调递减，11分

因为，

所以，即.12分

22．解：（1）由得，

即，所以，

所以曲线的极坐标方程为．3分

曲线的极坐标方程为．5分

（2）由条件，有，，6分

所以，

其中，．8分

因为，所以，

所以当时，．9分

因为的最大值为6，所以，

又，所以．10分

23．（1）当时，

或或3分

或或

或，

所以原不等式解集为．5分

（2）因为，使得成立，所以，6分

因为

所以在上单调递减，在上单调递增，8分

所以，所以，所以，

又，所以实数的取值范围．10分