福建省漳州市2016届高三下学期普通毕业班第二次模拟考试数学（理）试卷

2016年漳州市高三毕业班适应性练习（二）

数学(理科)

（满分150分，答题时间120分钟）

注意事项：

1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。

3．全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

来源：第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）集合的真子集个数为

（A） 7 （B） 8（C）15 （D） 16

（2）若复数满足，则的共轭复数的虚部是

（A）（B）（C）（D）

（3）设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

（4）右图是一个几何体的三视图，若该几何体的底面为直角梯形，则该几何体体积为

（A）8 （B）10 （C）12 （D）24

（5）在中，，，，为边上的高，若，则等于

（A）（B）（C）（D）

（6）执行右面的程序框图，若输出的结果是，则输入的为

（A）（B）（C）（D）

（7）设函数，则下列判断正确的是

（A）函数的一条对称轴为

（B）函数在区间内单调递增

（C），使

（D），使得函数在其定义域内为偶函数

（8）已知抛物线的准线与坐标轴交于点，为抛物线第一象限上一点，为抛物线焦点，为轴上一点，若，，则=

（A）（B）（C） （D） 2

（9）某校投篮比赛规则如下:选手若能连续命中两次，即停止投篮，晋级下一轮．假设某选手每次命中率都是0．6，且每次投篮结果相互独立，则该选手恰好投篮4次晋级下一轮的概率为

（A）　　　（B）　 　（C） 　 　 （D）

（10）已知，求的值为

（A）　　　（B） 　 （C）　　　（D）

（11）在中，角的对边分别为，且，若的面积为，则的最小值为

（A）　　（B）　　 （C）　　　（D）3　

（12）已知函数存在单调递减区间，且的图象在处的切线l与曲线相切，符合情况的切线l

（A）有3条　　　 （B）有2条　　 　（C） 有1条　　　 （D）不存在

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分

（13）设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为 ．

（14）已知是三角形的一个内角，且、是关于的方程的两根，则等于 ．

（15）已知球被互相垂直的两个平面所截，得到两圆的公共弦长为，若两圆的半径分别为和，则球的表面积为 ．

（16）已知双曲线C：的左右焦点为，为双曲线C右支上异于顶点的一点，的内切圆与轴切于点，且与点关于直线对称，则双曲线方程为 ．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

已知数列的前项和为，且．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，，求使成立的最小的正整数的值．

(18)（本小题满分12分）

某校为了解本校学生的课后玩电脑游戏时长情况，随机抽取了100名学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生每天玩电脑游戏的时长的频率分布直方图．

（Ⅰ）根据频率分布直方图估计抽取样本的平均数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）已知样本中玩电脑游戏时长在的学生中，男生比女生多1人，现从中选人进行回访，记选出的男生人数为，求的分布列与期望．

（19）（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，，，分别为的中点，点在线段上．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求的值．

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆C:的离心率为，直线与以原点为圆心，

以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设是椭圆的上顶点，过点分别作直线交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为,，且， 证明:直线过定点(，-l)．

（21）（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）当时，若函数在其图象上任意一点A处的切线斜率为，求的最小值，并求此时的切线方程；

（Ⅱ）若函数的极大值点为，证明：．

请考生在第（22），（23），（24）3题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．

(22)（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，是⊙的直径，弦、的延长线相交于点，垂直的延长线于点．求证：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）．

(23)（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求的直角坐标方程；

（Ⅱ）直线（为参数）与曲线交于两点，与轴交于，求．

(24)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数，．

（Ⅰ）解不等式；

（Ⅱ）若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围．

2016年漳州市高三毕业班适应性练习（二）

数学(理科)参考答案

13、5 14、15、16、

1．解析：有4个元素，则真子集个数为个．

2．解析：，所以，得虚部为1.

3．解析：当，时，不是递增数列；当且时，是递增数列，但是不成立，所以选D.

4．解析：该几何体为四棱锥，其体积为.

5．解析：由题意得，，，则，所以，则2.

6．解析：当时，；当时，；．．．；当时，；当时，，输出S，此时，所以选B.

7．解析：函数，．当时，为偶函数.

8．解析：作出图像，设，则转化到到准线的距离，在直角三角形中，，易知，则=.

9．解析：根据题意得，第二次不中，第三次和第四次必须投中，得概率为.

10．解析：令得，，再令得，，所以，又因为，代入得=20.

11．解析：由正弦定理，有＝＝＝2R，又2c·cosB＝2a＋b，得

2sinC·cosB＝2sinA＋sinB，

由A＋B＋C＝π，得sinA＝sin(B＋C)，

则2sinC·cosB＝2sin(B＋C)＋sinB，即2sinB·cosC＋sinB＝0，

又0＜B＜π，sinB＞0，得cosC＝－，

因为0＜C＜π，得C＝，

则△ABC的面积为S_△＝absinC＝ab，即c＝3ab，

由余弦定理，得c²＝a²＋b²－2abcosC，化简，得a²＋b²＋ab＝9a²b²，

∵a²＋b²≥2ab，当仅当a=b时取等号，

∴2ab＋ab≤9a²b²，即ab≥，故ab的最小值是．

12．解析：，依题意可知，在有解，①时，在无解，不符合题意；②时，符合题意，所以．易知，曲线在的切线l的方程为.

假设l与曲线相切，设切点为，则，

消去a得，设，则，令，则，

所以在上单调递减，在上单调递增，当，

所以在有唯一解，则，而时，，与矛盾，所以不存在．

13．解析：当目标函数过（1，0）时，Z最大值为5．

14．解析：联立得，由为三角形内角得，，所以．

15．解析：设圆的半径为，圆的半径为3，则，，所以球的半径，所求表面积为．

16．解析：设点A（1，0），因为的内切圆与轴切于点（1，0），则，所以，则．因为P与点F₁关于直线对称，所以且，联立且解得．所以双曲线方程为．

17．解：（Ⅰ） 当时，，由，

当时，

∴是以为首项，为公比的等比数列．

故

（Ⅱ）由（1）知

，

故使成立的最小的正整数的值

18．解：（Ⅰ）

（Ⅱ）样本中玩电脑游戏时长在的学生为人，其中男生3人，女生2人，则的可能取值为1，2，3

的分布列为

	1	2	3

所以

19．（Ⅰ）证明：在平行四边形中，因为，，

所以．

由分别为的中点，得，

所以．

因为侧面底面，且，

所以底面．

又因为底面，

所以．

又因为，平面，平面，

所以平面．

（Ⅱ）解：因为底面，，所以两两垂直，故以

分别为轴、轴和轴，如上图建立空间直角坐标系，

则，

所以，，，

设，则，

所以，，

易得平面的法向量．

设平面的法向量为，

由，，得

令， 得．

因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，

所以，即，

所以，

解得，或（舍）．

综上所得：

20．解:（Ⅰ）椭圆C的离心率

由与圆相切，得

椭圆C的方程为：．

（Ⅱ）①若直线的斜率不存在，设方程为，则点，．

由已知得．此时方程为，显然过点(，-l)．

②若直线的斜率存在，设方程为，依题意．

设，，由得

则，

由已知,

即将代入得，，

故直线的方程为，即．

直线过定点 (，-l)．

（Ⅱ）法二：由已知方程为，设，，

由得

，

，同理可得

设，下面只要证三点共线即可．

同理

三点共线

直线过定点(，-l)．

21．解：（Ⅰ）∵，∴

∴当仅当时，即时，的最小值为2

∴斜率的最小值为2，切点A，

∴切线方程为，即

（Ⅱ）∵

①当时，单调递增无极值点，不符合题意

②当或时，令则的两根为和，

因为为函数的极大值点，所以

又∵，∴，

∴，所以，则

∵，

令，

∴∴，

当时，，当时，

∴在上单调递增，在上单调递减

∴

∴在上单调递减∴，原题得证．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

证明：（Ⅰ）连结AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，又EF⊥AB，∠EFA=90°则A、D、E、F四点共圆∴∠DEA=∠DFA

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

又△ABC∽△AEF∴

即：

∴

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

解：（Ⅰ）由得，

得直角坐标方程为，即；

（Ⅱ）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化简得，点E对应的参数，设点A，B对应的参数分别为，则，，

所以．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

解：（Ⅰ）由得

，得不等式的解集为

（Ⅱ）因为任意，都有，使得成立，

所以，

又，

，

所以，解得或，

所以实数的取值范围为或