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直线过定点应该怎么求 有几种方法

关于直线方程的相关知识点一直以来都是同学们比较难处理的问题,下面小编为大家总结整理一下直线过定点求解的问题,希望大家喜欢。

直线过定点求解的几种方法

方法一、特殊值法

给直线方程中的参数取两个特殊值,得到关于x、y的二元一次方程组,解出该二元一次方程组即可得到该直线所过的定点坐标。

例1、求证:m取任意实数时,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都过一定点。

解析:特殊值法的关键是取两个特殊的参数值,然后代入原方程组成一个二元一次方程组。为了计算简便,本题可以直接取使x和y的系数为0的m的值。

证明:令m=1,直线方程化为:y=-4;

m=1/2,直线方程化为:x=9.

此时,这两条直线的交点为(9,-4),

将(9,-4)代入原方程,原方程也成立,

因此,无论m取何实数,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都过定点(9,-4)。

方法二、直线的点斜式方程

直线的点斜式方程为:y-y0=k(x-x0),该直线一定过定点(x0,y0),也就是说只要我们能将题目给出的方程化为点斜式方程,即可求出该直线所过定点。

例2、求证:不论m为何值时,直线l:y=(m-1)x+2m+1总过第二象限.

解析:要求证直线过第二象限,只需证明直线过第二象限的一个点即可。

证明:将直线l的方程y=(m-1)x+2m+1化为点斜式方程,

可得:y-3=(m-1)(x+2),

故该直线过定点(-2,3),

又因为点(-2,3)在第二象限内,

故直线l一定过第二象限。

方法三、方程思想

先将题目给出的方程合并同类项,含参数的作为一项,不含参数的作为另一项,对于任意的参数这个方程都要成立,那么只有这两项都为0。

例3、已知直线l:5ax-5y-a+3=0.求证:不论a为何值,直线l总经过第一象限.

证明:因为5ax-5y-a+3=0,

所以(5x-1)a-(5y-3)=0

因为如论a为何值,该方程都成立,

所以5x-1=0且5y-3=0,

解得:x=1/5且y=3/5,

即该直线过定点(1/5,3/5)

又因为点(1/5,3/5)在第一象限

故直线l一定过第一象限。

直线过定点的解题策略

直线过定点的解题策略一般有以下几种:
(1)如果题设条件没有给出这个定点,那么,我们可以这样思考:由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立,那么我们根据特殊情况先找到这个定点,再进行证明.
(2)直接找出参数之间的关系,并在计算过程中消去部分参数,将直线方程化为点斜式或者斜截式方程,从而得到定点.
(3)若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程,观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征,即可找出直线所过定点坐标,注意到繁难的代数运算是此类问题的特点,设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算。