面面垂直的性质定理和结论及相关例题

一、面面垂直的性质定理和结论

1、二面角

（1）半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，每一部分都叫做半平面。

（2）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

（3）二面角的表示方法

①棱为$AB$，面分别为$α$，$β$的二面角记作二面角$α—AB—β$。

②棱为$l$，面分别为$α$，$β$的二面角记作二面角$α—l—β$。

③棱为$AB$，若在$α$，$β$面内分别取不在棱上的点$P$，$Q$，这个二面角可记作二面角$P—AB—Q$。

（4）二面角的平面角

在二面角$α—l—β$的棱$l$上任取一点$O$，以点$O$为垂足，在半平面$α$和$β$内分别作垂直于棱$l$的射线$OA$和$OB$，则射线$OA$和$OB$构成的∠$AOB$叫做二面角的平面角。

二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。平面角是直角的二面角叫做直二面角。

二面角的平面角的取值范围为$[0°,180°]$。

2、平面与平面垂直

定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作$α⊥β$。

判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

平面与平面垂直的一般性质和结论

（1）如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面。

（2）如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内。

（3）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。

（4）三个两两垂直的平面的交线也两两垂直。

二、面面垂直的性质定理的相关例题

已知三棱锥$P-ABC$，平面$PAB⊥$ 平面$ABC$，$PA=PB=4$，$AB=4sqrt{3}$，$∠ACB=120°$，则三棱锥$P-ABC$外接球的表面积为___

A．20π

B．32π

C．64π

D．80π

答案：D

解析：设$△PAB$的外接圆的圆心为$O_1$，半径为$r_1$，$△ABC$的外接圆的圆心为$O_2$，半径为$r_2$，三棱锥$P-ABC$外接球球心为$O$，半径为$R$，过点$P$作$PD⊥AB$，因为平面$PAB⊥$ 平面$ABC$，所以$PD⊥$ 平面$ABC$，又因为$PA=PB=4$，所以$O_1$在$PD$上，因为$AB=4sqrt{3}$，所以$AD=2sqrt{3}$，$PD=2$，所以$cos ∠PAD=frac{AD}{PD}=frac{2sqrt{3}}{4}=frac{sqrt{3}}{2}$，又$∠PAD∈(0,π)$，所以$∠PAD=frac{π}{6}$，所以$2r_1=frac{PB}{sin ∠PAD}=frac{4}{frac{1}{2}}=8$，则$r_1=O_1P=4$，所以$O_1D=2$，$OO_2=O_1D=2$，所以$2r_2=frac{AB}{sin ∠ACB}=frac{4sqrt{3}}{frac{sqrt{3}}{2}}=8$，则$r_2=O_2A=4$，所以$R=sqrt{OO^2_2+O_2A^2}=2sqrt{5}$，所以三棱锥$P-ABC$外接球的表面积$S=4πR^2=$$4π×$$(2sqrt{5})^2=$$80π$。故选D。