二面角的定义和表示方法及相关例题

一、二面角的定义和表示方法

1、二面角的定义

（1）半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，每一部分都叫做半平面。

（2）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

2、二面角的表示方法

（1）棱为$AB$，面分别为$α$，$β$的二面角记作二面角$α—AB—β$。

（2）棱为$l$，面分别为$α$，$β$的二面角记作二面角$α—l—β$。

（3）棱为$AB$，若在$α$，$β$面内分别取不在棱上的点$P$，$Q$，这个二面角可记作二面角$P—AB—Q$。

3、二面角的平面角

在二面角$α—l—β$的棱$l$上任取一点$O$，以点$O$为垂足，在半平面$α$和$β$内分别作垂直于棱$l$的射线$OA$和$OB$，则射线$OA$和$OB$构成的∠$AOB$叫做二面角的平面角。

二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。平面角是直角的二面角叫做直二面角。

二面角的平面角的取值范围为$[0°,180°]$。

二、二面角的相关例题

$PA$，$PB$，$PC$是从点$P$引出的三条射线，每两条射线的夹角都是$60°$，每两条射线确定一个平面，则两个平面所成的锐二面角的余弦值为

A．$frac{1}{2}$

B．$frac{1}{3}$

C．$frac{sqrt{2}}{2}$

D．$frac{sqrt{3}}{2}$

答案：B

解析：在$PC$上取点$D$，作$DO⊥$平面$PAB$，则$O$在$∠APB$的平分线上，作$OE⊥PB$，则$DE⊥PB$，所以$∠DEO$即为两平面所成的锐二面角。设$PD=2$，则$PE=1$，$DE=sqrt{3}$，$OE=frac{sqrt{3}}{3}$。所以$cos ∠DEO=$$frac{OE}{DE}=$$frac{1}{3}$，故选B。