特殊角的三角函数值和性质及例题解析

一、特殊角的三角函数值和性质

在Rt$△ABC$中，锐角$A$的正弦、余弦和正切都是$∠A$的三角函数。

正弦：$sin A=displaystyle{}frac{∠A的对边}{斜边}=frac{a}{c}$；

余弦：$cos A=displaystyle{}frac{∠A的邻边}{斜边}=frac{b}{c}$；

正切：$tan A=displaystyle{}frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=frac{a}{b}$。

（$a$，$b$，$c$为Rt$△ABC$中$∠A$，$∠B$，$∠C$所对的边长）

2、特殊锐角的三角函数值

$sin 30°=frac{1}{2}$，$sin 45°=frac{sqrt{2}}{2}$，$sin 60°=frac{sqrt{3}}{2}$。

$cos 30°=frac{sqrt{3}}{2}$，$cos 45°=frac{sqrt{2}}{2}$，$cos 60°=frac{{1}}{2}$。

$tan 30°=frac{sqrt{3}}{3}$，$tan 45°=1$，$tan 60°=sqrt{3}$。

3、锐角三角函数的关系

（1）互余两角的三角函数关系（$A$为锐角）

① $sin A=cos (90°-A)$，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值。

② $cos A=sin (90°-A)$，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

（2）同角的三角函数值之间的关系

① $sin ^2A+cos ^2A=1$；

② $tan A=frac{sin A}{cos A}$。

4、锐角三角函数的性质

（1）锐角三角函数的取值范围

当$A$为锐角时，0<$sin A$<1，0<$cos A$<1，$tan A$>0。

（2）锐角三角函数的增减性

当角度在0~90°（不包括0°，90°）之间变化时

① 锐角的正弦值随角度的增大而增大。

② 锐角的余弦值随角度的增大而减小。

③ 锐角的正切值随角度的增大而增大。

二、特殊角的三角函数值的相关例题

$sqrt{2}cos 30°$的值是___

答案：$frac{sqrt{6}}{2}$

解析：$sqrt{2}cos 30°=$$sqrt{2}×$$frac{sqrt{3}}{2}=$$frac{sqrt{6}}{2}$。