容斥原理的定义和计算及例题解析

一、容斥原理的定义和计算

1、容斥原理

在计数时，先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

2、容斥原理的计算

如果被计数的事物有$A$、$B$、$C$三类，那么$A$类、$B$类和$C$类元素个数总和=$A$类元素个数+$B$类元素个数+$C$类元素个数—既是$A$类又是$B$类的元素个数—既是$A$类又是$C$类的元素个数—既是$B$类又是$C$类的元素个数+既是$A$类又是$B$类而且是$C$类的元素个数。

即$A∪B∪C=$$A+B+C-$$A∩B-$$B∩C-$$C∩A+$$A∩B∩C$。

3、集合的容斥关系

两个集合的容斥关系公式：$A∪B=$$|A∪B|=$$|A|+$$|B|-$$|A∩B|$（$∩$：重合的部分）。

三个集合的容斥关系公式：$|A∪B∪C|=$$|A|+$$|B|+$$|C|-$$|A∩B|-$$|B∩C|-$$|C∩A|+$$|A∩B∩C|$（$∩$：重合的部分）。

二、容斥原理的相关例题

某班有38名学生，一次数学测验共有两道题，答对第一题的有26人， 答对第二题的有24人，两题都答对的有17人，则两题都答错的人数是___

A．3 

B．5 

C．6 

D．7

答案：B

解析：设两题都答错的人数为$x$，根据两集合公式，$A+$$B-$$AB$等于总个数减去都不满足的个数，可得$26+$$24-$$17=$$38-$$x$，解得$x=5$。故选B。