分式的化简求值和基本性质及例题解析

一、分式的化简求值和基本性质

1、分式的基本性质

（1）分式的基本性质

分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

即$frac{A}{B}=frac{A·C}{B·C}$，$frac{A}{B}=frac{A÷C}{B÷C}$$(C≠0)$，其中$A$，$B$，$C$是整式。

（2）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

（3）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数约去它们的最大公约数，如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分。

（4）最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。

（5）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

（6）通分法则：把两个或者几个分式通分，① 先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂与所有不同因式的积）。② 再利用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式。③ 若分母是多项式，则先分解因式，再通分。

（7）最简公分母：各分式分母的所有因式的最高次幂的积，叫做最简公分母。

确定分式的最简公分母的步骤：

① 取各分式的分母中系数的最小公倍数。

② 各分式的分母中所有字母（或因式）都要取到。

③ 相同字母（或因式）的幂取指数最大的。

④ 所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积即为最简公分母。

2、分式的化简求值的方法

分式的化简求值是代数式化简求值的常见题型之一，也是中考的固定题型，其基本步骤是先化简，再把字母的值或条件中所含关系式代入计算。根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化。

二、分式的化简求值的相关例题

下列分式中，最简分式是___

A．$frac{x+1}{2x^2+4x+2}$

B．$frac{x-2y}{x^2-4y^2}$

C．$frac{x+3x^2}{x^2}$

D．$frac{1-x}{2(x+1)}$

答案：D

解析：A．$frac{x+1}{2x^2+4x+2}=frac{x+1}{2(x+1)^2}=frac{1}{2x+2}$，故原式不是最简分式，不合题意；B．$frac{x-2y}{x^2-4y^2}=frac{x-2y}{(x-2y)(x+2y)}=frac{1}{x+2y}$，故原式不是最简分式，不合题意；C．$frac{x+3x^2}{x^2}=frac{1+3x}{x}$，故原式不是最简分式，不合题意；D．$frac{1-x}{2(x+1)}$是最简分式，符合题意。故选D。