约分和通分的定义和法则及例题解析

一、约分和通分的定义和法则

1、约分

和分数一样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

2、约分法则

把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数。如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分。

如：$frac{6a^2b^3c}{8a^3bc^2}=frac{3b^2}{4ac}$；$frac{x^2-1}{x^2-x-2}=$$frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-2)}=$$frac{x-1}{x-2}$。

3、约分的步骤

（1）将分子分母分解因数；

（2）找出分子分母的公因数；

（3）消去非1的公因数。

约分时，如果能很快看出分子和分母的最大公因数，直接用它们的最大公因数去除比较简便。

4、最简分式

分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能为整式，如：$frac{3a^2-a}{a}=$$3a-1$。

5、最简公分母

几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母。

6、通分

根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

7、通分法则

把两个或者几个分式通分，

（1）先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂与所有不同因式的积）。

（2）再利用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式。

（3）若分母是多项式，则先分解因式，再通分。

8、约分与通分的联系与区别

（1）联系：约分与通分都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值。

（2）区别：约分是针对一个分式而言，约分可使分式变简单。通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式。

二、约分和通分的相关例题

比较每组中两个分数的大小：

$frac{24}{32}$和$frac{3}{12}$；$frac{7}{9}$和$frac{13}{15}$

答案：$frac{24}{32}>frac{3}{12}$；$frac{7}{9}

解析：（1）$frac{24}{32}=frac{3}{4}$，$frac{3}{12}=frac{1}{4}$，因为$frac{3}{4}>frac{1}{4}$，所以$frac{24}{32}>frac{3}{12}$。（2）$frac{7}{9}=frac{35}{45}$，$frac{13}{15}=frac{39}{45}$，因为$frac{35}{45}