上海市位育中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学试卷

位育中学2014学年第二学期高二期中考试数学卷

2015-4-21

一、填空题（每题3分，共42分）

1、i是虚数单位，i²⁰¹⁵i²⁰¹⁶____________．

2、正四面体相邻两个面所成的二面角的大小为____________．

3、若复数z满足zi(2z)(i是虚数单位)，则z的模等于____________．

4、正三棱柱ABC—A’B’C’的A’AAB2，则点A到BC’的距离为____________．

5、在复数范围内，纯虚数i的三个立方根为____________．

6、已知长方体的对角线的长为，长、宽、高之和为9，则此长方体的表面积为________．

7、一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的母线与底面所成角大小为____________．

8、实系数一元二次方程x²axb0有一个虚数根的模为2，则a的取值范围是____________．

9、已知正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB2，，E为棱CC₁的中点，则直线AC₁与平面BDE的距离为____________．

10、在复平面上，已知正方形OABC(按逆时针方向，O表示原点)中的一个顶点B对应的复数为12i，则所对应的复数z____________．

11、PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD为定长，当AB的长度变化时，异面直线PC与AD所成角的取值范围是____________．

12、已知关于x的方程有实根，则复数z的模的最小值为____________．

13、已知三棱锥底面是正三角形，给出下列条件：
(1) 三条侧棱长相等；(2) 三个侧面都是等腰三角形；(3) 三条侧棱两两垂直；
(4) 三个侧面与底面所成的角相等；(5) 三个侧面都是等边三角形．
其中使三棱锥成为正三棱锥的充要条件的有______________（写出所有正确条件的序号）．

14、在xOy平面上，将抛物线弧y1x²(0x1)、x轴、y轴围成的封闭图形记为D，如图中曲边三角形OAB及内部．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω，过点(0,y)(0y1)作Ω的水平截面，
所得截面面积为(1y)，
试构造一个平放的直三棱柱，利用祖暅原理得出Ω的体积值为____________．

二、选择题（每题3分，共12分）

15、给出下列命题：
(1) 底面是矩形的平行六面体是长方体；(2) 底面是正方形的直平行六面体是正四棱柱；
(3) 底面是正方形的直四棱柱是正方体；(4) 所有棱长都相等的直平行六面体是正方体．
以上命题中正确命题的个数是( )
A．1B．2C．3D．4

16、已知、是两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的 ( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件

17、下列命题中，正确的是( )
A．若z是复数，则|z|²z²B．任意两个复数不能比较大小
C．当b²4ac>0时，一元二次方程ax²bxc0(a、b、cC)有两个不相等的实数根
D．在复平面xOy上，复数zm²mi(mR，i是虚数单位)对应的点的轨迹方程是y²x

18、复数z满足方程|z1||zi|2，那么它在复平面内所表示的图形是( )
A．线段B．圆C．椭圆D．双曲线

三、解答题（本大题共五题，满分46分）

19、（本题满分6分）

关于复数z的方程z²(ai)z(i+2)0(aR)．证明对任意的实数a，原方程不可能有纯虚数根．

20、（本题满分8分，第1小题3分，第2小题5分）

正三棱锥的侧面是底边长为，顶角为30°的等腰三角形．过点A作这个三棱锥的截面AEF，点E、F分别在棱PB、PC上．

1. 如图，作出平面AEF与平面ABC的交线；
2. 周长的最小值是否存在？若存在，求出其最小值，并指出此时直线BC与平面AEF的位置关系；若不存在，请说明理由．

21、（本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分）

如图，长宽高分别为a、b、c的长方体的六条面对角线组成等腰四面体ABCD．

1. 求证等腰四面体ABCD的每个面都是锐角三角形；
2. 求等腰四面体的体积及其外接球的表面积．

22、（本题满分10分）

设复数z满足，wsinicos ( R)．求z的值和|zw|的取值范围．

23、（本题满分12分，第1小题3分，第2小题4分，第3小题5分）

E

C

O

D

S

P

B

如图，等高的正三棱锥P—ABC与圆锥SO的底面都在平面M上，且圆O过点A，又圆O的直径ADBC，垂足为E，设圆锥SO的底面半径为1，圆锥体积为．

1. M

   求圆锥的侧面积；
2. 求异面直线AB与SD所成角的大小；
3. 若平行于平面M的一个平面N截得三棱锥与圆锥的截面面积之比为，求三棱锥的侧棱PA与底面ABC所成角的大小．

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位育中学2014学年第二学期高二期中考试数学答案

一、填空题

1、1i；2、；3、；4、；5、i,；6、52；

7、60；8、(4,4)；9、1；10、；11、；12、；

13、(1)、(4)14、．

二、选择题

15、A16、B17、D18、C

三、解答题

19、（本题6分）

证明：假设原方程有纯虚数根,令zbi,(bR，b0)，

则有(bi)²(ai)bi-(i+2) =0，整理可得b²b2(ab1)i=0，3分

所以，

则对于①，判别式Δ<0,方程①无实数解,故方程组无解,故假设不成立，

所以原方程不可能有纯虚根．6分

20、（本题满分8分）

解：(1) 延长FE、CB相交于点Q，连结AQ，

则AQ为所求的交线；3分

(2) 存在，周长的最小值为，6分

此时直线BC//平面AEF．8分

21、（本题10分）

解：(1) 易知四个面是全等的三角形．

三边长分别为

，，，

不妨设abc，则最大边x所对角 的余弦值

∴ 为锐角，

∴三角形为锐角三角形．4分

(2) 体积7分

外接球半径

外接球的表面积S4R²(a²b²c²)．10分

22、（本题满分10分）

解：设zabi(a,b∈R)，则zabi，代入，

得，即3分

∴解得，∴；5分

.8分

∵，∴，∴0≤|zw|≤2．10分

23、（本题满分12分）

Q

A

F

P

B

S

C

O

D

解：(1) 设圆锥的高为h，

由

E

得，∴SD2，

∴S_侧2；3分

M

(2) 作DF//AB交圆O于F，

连结AF、SF，则SDF（或其补角）就是异面直线AB与SD所成角，

RtADF中，AD2，ADFEAB30，∴，

等腰SDF中，，

∴异面直线AB与SD所成角大小为；7分

(3) 由题意知，，∴，

则正三棱锥的底面ABC的边长为2，，

设点Q是正ABC的中心，则Q在AE上，PQ平面ABC，

PAQ三棱锥的侧棱PA与底面ABC所成角，

RtPQA中，，，，

∴三棱锥的侧棱PA与底面ABC所成角的大小为．12分