北京市第六十六中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学（理）试题

2014.11

—、选择题（每小题5分，共40分）

1. 已知命题，，那么命题为（ ）
   A．B．C．D．
2. 圆的半径为（　　 ）
   A．　　 　B．　　　　 C．　　　 　D．
   3． “”是“方程表示椭圆”的( )
   A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
   C．充要条件 D．既不是充分条件又不是必要条件
   4．下列曲线中离心率为的是( )
   1. B. 　　 C.　 D.

5. 抛物线的焦点坐标是（ ）

A．B．C．D．

6．设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（ ）

A．B．C．D．

7．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（ ）

A．　　　　 B．　　　　 C．　　　 　D．2

8．已知直线，若圆上恰好存在两个点，它们到直线的距离为，则称该圆为“理想型”圆．则下列圆中是“理想型”圆的是（ ）

A．B．

C．D．

二、填空题（每小题4分，共20分）

9．双曲线的实轴长为 .

10．命题“若，则”的否命题是 .

11．已知双曲线b>0)的一条渐近线方程是它的一个焦点在抛物线的准线上,则双曲线的方程为 .

12．已知是圆F:为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P,则动点P的轨迹方程为 .

13．如图,是椭圆与双曲线的公共焦点,分别是,在第二、四象限的公共点.若四边形为矩形,则的离心率是 .

三、计算题（每小题10分，共40分）

14．已知圆C：，圆C关于直线对称，圆心在第二象限，半径为．

（1）求圆C的方程；

（2）已知不过原点的直线与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线的方程．

15．抛物线的顶点在原点，它的准线过椭圆:的一个焦点，并与椭圆的长轴垂直，已知抛物线与椭圆的一个交点为．

（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；

（2）若双曲线与椭圆共焦点，且以为渐近线，求双曲线的方程．

16．已知抛物线与直线相交于A、B两点．

（1）求证 ：； （2）当的面积为时，求的值．

17．在平面直角坐标系xOy中，点B与点关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.

(1)求动点P的轨迹方程;

(2)设直线AP和BP分别与直线交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

2014.11

—、选择题（每小题5分，共40分）

二、填空题（每小题4分，共20分）

三、解答题（每小题10分，共40分）

14．解：（Ⅰ）由知圆心C的坐标为

又∵圆心C在第二象限 ∴ 由①②解得D=2，E=－4 …………4分

∴所求圆C的方程为：…………………………5分

（Ⅱ）切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，设：………6分

圆C:

15．解：由题意可知抛物线开口向左，故设抛物线的标准方程为…1分

，…………2分

，…………4分

故准线方程为，，…………5分

………7分

（2）因为双曲线与椭圆C共焦点，所以双曲线的焦点也在轴上，且

则设双曲线的方程为

由题意可知：………8分

解得，………10分

16．解：（1）设

…………2分易得，所以，………3分∴=0，∴…………5分

（2）∵，…………6分

17．解:(1)因为点B与点A(-1,1)关于原点O对称,所以点B的坐标为(1,-1). ……1分

设点P的坐标为(x,y).

由题意得…………3分

化简得. …………4分

故动点P的轨迹方程为. …………5分

(2)解法一:设点P的坐标为点M(3,y,(3,y

||. …………7分

又直线AB的方程为x+y=0,|AB|

点P到直线AB的距离

于是△PAB的面积

|AB|||. …………8分

当时,得||.

又||

所以||,解得.…………9分

因为所以.

故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等,此时点P的坐标为. ………10分

解法二:若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等,设点P的坐标为

则|PA||PB|sin|PM||PN|sin. ………6分

因为sinsin所以.………7分

故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等,此时点P的坐标为.…10分