北京市西城区2014-2015学年高二下学期期末考试数学（文）试卷

北京市西城区2014－2015学年下学期高二年级期末考试数学试卷（文科）

试卷满分：150分 考试时间：120分钟

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1. 设集合，则＝（ ）
   1. B.C.D.
2. 在实数范围内，下列不等关系不恒成立的是（ ）
   1. B.
      C.D.
3. 下列函数中，既是偶函数又在上是单调递增函数的是（ ）
   1. B.
      C.D.
4. 命题“存在实数x，使得”的否定是（ ）
   1. 不存在实数x，使B. 存在实数x，使
      C. 对任意实数x，都有D. 对任意实数x，都有
5. 已知是等差数列，，则公差等于（ ）
   1. 2B. 4C. 6D. 8
6. 已知为不相等的两个正数，且，则函数和的图象之间的关系是（ ）
   1. 关于原点对称B. 关于y轴对称
      C. 关于x轴对称D. 关于直线对称
7. 已知是实数，则“且”是“且”的（ ）
   1. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
      C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 过曲线C：上一点作曲线C的切线，若切线的斜率为－4，则等于（ ）
   1. 2B.C. 4D.
9. 已知函数在R上满足：对任意，都有，则实数a的取值范围是（ ）
   1. B.C.D.
10. 已知函数，给出下列结论：
    ①是的单调递减区间；
    ②当时，直线与的图象有两个不同交点；
    ③函数的图象与的图象没有公共点。
    其中正确的序号是（ ）
    1. ①②③B. ①③C. ①②D. ②③
       二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
11. 若，则的最小值为___________。
12. ＝___________。
13. 不等式的解集为___________。
14. 已知定义在R上的奇函数满足，且当时，＝，则＝___________；＝___________。
15. 函数的极值是___________。
16. 个人取得的劳务报酬，应当交纳个人所得税。每月劳务报酬收入（税前）不超过800元不用交税；超过800元时，应纳税所得额及税率按下表分段计算：

    劳务报酬收入（税前）	应纳税所得额	税率
    劳务报酬收入（税前）不超过4000元	劳务报酬收入（税前）减800元	20%
    劳报报酬收入（税前）超过4000元	劳务报酬收入（税前）的80%	20%
    …	…	…

    （注：应纳税所得额单次超过两万，另有税率计算方法。）
    某人某月劳务报酬应交税款为800元，那么他这个月劳务报酬收入（税前）为________元。
    三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
    17.（本小题满分13分）
    设函数的定义域为A，集合。
    （Ⅰ）若，求；
    （Ⅱ）若集合中恰有一个整数，求实数a的取值范围。
    18.（本小题满分13分）
    已知数列是等差数列，为其前n项和，。
    （Ⅰ）求的通项公式；
    （Ⅱ）设，求数列的前n项和。
    19.（本小题满分13分）
    已知函数。
    （Ⅰ）当时，求函数在区间上的最大值和最小值；
    （Ⅱ）若函数在区间上的值恒为正数，求m的取值范围。
    20.（本小题满分13分）
    已知函数，其中。
    （Ⅰ）求函数的单调区间；
    （Ⅱ）证明函数只有一个零点。
    21.（本小题满分14分）
    某人销售某种商品，发现每日的销售量y（单位：kg）与销售价格x（单位：元/kg）满足关系式，其中a为常数。已知销售价格为8元/kg时，该日的销售量是80kg。
    （Ⅰ）求a的值；
    （Ⅱ）若该商品成本为6元/kg，求商品销售价格x为何值时，每日销售该商品所获得的利润最大。
    22.（本小题满分14分）
    已知函数。
    （Ⅰ）当时，求函数的极值点；
    （Ⅱ）若关于x的不等式恒成立，求整数m的最小值。
    

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    【试题答案】
    一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
    1. B2. D3. C4. D5. A6. B7. C8. B9. C 10. B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11. 412.13.

14. 0；15.16. 5000

注：一题两空的试题，第一空3分，第二空2分。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。

17.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由得：，1分

解得，或，从而定义域为。3分

因为，所以，解得，4分

所以。6分

（Ⅱ）当时，，7分

，若只有一个整数，则整数只能是5，

所以。9分

当时，，10分

，若只有一个整数，则整数只能是－3，

所以。12分

综上所述，实数a的取值范围是。13分

18.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为，所以。2分

因为数列是等差数列，，

所以。4分

所以。6分

（Ⅱ）由可得，8分

所以。10分

从而可知是首项，公比为4的等比数列，11分

所以其前n项和为。13分

19.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）当时，。

函数的对称轴是。2分

所以在上，当时，有最小值；4分

当时，有最大值。6分

（Ⅱ）由已知，函数的对称轴是。7分

①当时，函数的最小值为，

若函数在区间上的值恒为正数，则，9分

解得，所以；10分

②当时，函数的最小值为，

若函数在区间上的值恒为正数，则，12分

解得，所以。

综上所述，实数m的取值范围是。13分

20.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）。2分

令，解得。4分

因为时，时，，

所以函数的单调增区间是，减区间是。6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，是极大值，也是最大值。

且。8分

①当时，因为，

所以在上恒为正数，函数没有零点；10分

②当时，取，则，

因为，所以，

从而。11分

由零点存在定理可知，在区间上函数有一个零点；12分

因为是的减区间，所以零点只有一个。13分

综上，函数零点只有一个。

21.（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）因为销售价格为8元/kg时，该日的销售量是80kg，

所以，，3分

解得。5分

（Ⅱ）当商品成本为6元/kg时，商品销售利润为：

7分

①当时，利润，8分

10分

所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以时利润最大，最大值为170元。11分

②当时，利润，

是开口向下的二次函数，对称轴是，在区间上单调递减，

所以时利润最大，为150元。13分

综上可知，当销售价格为7元/kg，该日销售该商品的利润最大，最大值为170元。

14分

22.（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）当时，。

，2分

在区间上，；在区间上，。

所以，在上单调递增，在上单调递减。4分

所以的极大值点为1，没有极小值点。5分

（Ⅱ）令。

则不等式恒成立，即恒成立。

。7分

①当时，因为，所以

所以在上是单调递增函数，

又因为，

所以关于x的不等式不能恒成立。9分

②当时，。

令，因为，得，

所以当时，；当时，。

因此函数在是增函数，在是减函数。11分

故函数的最大值为

。12分

令，因为在上是减函数，

又因为，所以当时，。

所以整数m的最小值为2。14分