北京市西城区2014-2015学年高二下学期期末考试数学（理）试卷

北京市西城区2014－2015学年下学期高二年级期末考试数学试卷（理科）

试卷满分：150分 考试时间：120分钟

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1. i是虚数单位，若复数z满足3＋4i，则z等于（ ）
   1. 4＋3iB. 4－3i C. －3＋4i D. －3－4i
2. 在的展开式中，只有第4项的系数最大，则n等于（ ）
   1. 4B. 5 C. 6 D. 7
3. 若，则n的值为（ ）
   1. 7B. 6C. 5D. 4
4. 已知，则＝（ ）
   1. 0B. 1C. －1D. －2
5. 计算定积分＝（ ）
   1. B.C.D.
6. 在一段线路中并联着两个独立自动控制的开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就可以正常工作。设这两个开关能够闭合的概率分别为0.5和0.7，则线路能够正常工作的概率是（ ）
   1. 0.35B. 0.65 C. 0.85 D.
7. 从0，1，2，3，4中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中偶数有（ ）
   1. 30个B. 27个 C. 36个 D. 60个
8. 函数在上的极小值点为（ ）
   1. 0B.C.D.
9. 甲、乙两人分别从四种不同品牌的商品中选择两种，则甲、乙所选的商品中恰有一种品牌相同的选法种数是（ ）
   1. 30B. 24 C. 12 D. 6
10. 已知函数，给出下列结论：
    ①是的单调递减区间；
    ②当时，直线与的图象有两个不同交点；
    ③函数的图象与的图象没有公共点。
    其中正确结论的序号是（ ）
    1. ①②③B. ①③ C. ①② D. ②③
       二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上。
11. 函数的图象在点处切线的斜率是___________。
12. 设，则＝____________；
    _____________。
13. 在3名男生和4名女生中任选4人参加一项活动，其中至少有1名男生的选法种数是__________。（用数字作答）
14. 设函数有极值，则实数a的取值范围是_________。
15. 某超市有奖促销，抽奖规则是：每消费满50元，即可抽奖一次。抽奖方法是：在不透明的盒内装有标着1，2，3，4，5号码的5个小球，从中任取1球，若号码大于3就奖励10元，否则无奖，之后将球放回盒中，即完成一次抽奖，则某人抽奖2次恰中20元的概率为___________；若某人消费200元，则他中奖金额的期望是_________元。
16. 设函数图象上在不同两点处的切线斜率分别是，，规定（为A与B之间的距离）叫作曲线在点A与点B之间的“弯曲度”。
    若函数图象上两点A与B的横坐标分别为0，1，则＝________；
    设为曲线上两点，且，若恒成立，则实数m的取值范围是____________。
    三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分13分）
    已知数列中，。
    （Ⅰ）计算的值；
    （Ⅱ）根据计算结果猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明。
18. （本小题满分13分）
    在一次射击游戏中，规定每人最多射击3次；在A处击中目标得3分，在B，C处击中目标均得2分，没击中目标不得分；某同学在A处击中目标的概率为，在B，C处击中目标的概率均为。
    该同学依次在A，B，C处各射击一次，各次射击之间没有影响，求在一次游戏中：
    （Ⅰ）该同学得4分的概率；
    （Ⅱ）该同学得分少于5分的概率。
19. （本小题满分13分）
    已知函数。
    （Ⅰ）若，求在上的最小值；
    （Ⅱ）若在区间上的最大值大于零，求a的取值范围。
20. （本小题满分13分）
    盒中装有7个零件，其中5个是没有使用过的，2个是使用过的。
    （Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，有放回的抽取3次，求3次抽取中恰有2次抽到使用过零件的概率；
    （Ⅱ）从盒中任意抽取3个零件，使用后放回盒子中，设X为盒子中使用过零件的个数，求X的分布列和期望。
21. （本小题满分14分）
    已知函数。
    （Ⅰ）当时，求曲线在点（0，1）处的切线方程；
    （Ⅱ）若函数在区间上的最小值为0，求a的值；
    （Ⅲ）若对于任意恒成立，求a的取值范围。
22. （本小题满分14分）

已知函数，，令。

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）若关于x的不等式恒成立，求整数m的最小值；

（Ⅲ）若，且正实数满足，求证：。

【试题答案】

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

1. B 2. C 3. D 4. C 5. B 6. C 7. A 8. C 9. B 10. B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11. 3 12. 1，－1 13. 34

14.15.；1616.

注：一题两空的试题，第一空3分，第二空2分。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。

17. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由可得

。5分

（Ⅱ）由

猜想：。7分

以下用数学归纳法证明：

（1）当时，左边，右边，符合结论；8分

（2）假设时结论成立，即，9分

那么，当n＝k＋1时，

。11分

所以，当n＝k＋1时猜想也成立；12分

根据（1）和（2），可知猜想对于任意n∈N^*都成立。13分

18. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设该同学在A处击中目标为事件A，在B处击中目标为事件B，在C处击中目标为事件C，事件A，B，C相互独立。

依题意。3分

则该同学得4分的概率为

5分

。

答：该同学得4分的概率为。6分

（Ⅱ）该同学得0分的概率为；8分

得2分的概率为；10分

得3分的概率为；11分

得4分的概率为；

则该同学得分少于5分的概率为

。

答：该同学得分少于5分的概率为。13分

19. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）时，，则。2分

令，得。4分

列表：

	－1		0	（0，1）	1
	－7	－	0	＋	1
	－1	↘	－4	↗	－3

f（x）在区间（－1，0）上单调递减，在区间（0，1）上单调递增。

所以，当时，最小值为。7分

（Ⅱ）由已知。8分

当时，，函数为减函数，

在区间上的最大值为＝－4，不符合题意。9分

当时，函数在区间上为减函数，最大值为，不符合题意。

10分

当时，函数在区间上为增函数，在区间上为减函数。

所以，在区间上的最大值为，11分

依题意，令，解得，符合题意。12分

综上，a的取值范围是。13分

20. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）记“从盒中随机抽取一个零件，抽到的是使用过零件”为事件A。1分

则。3分

所以三次抽取中恰有2次抽到使用过零件的概率。5分

（Ⅱ）从盒中任意抽取三个零件，使用后放回盒子中，设此时盒子中使用过的零件个数为X，

由已知X＝3，4，5。7分

；；

。10分

随机变量X的分布列为：

X	3	4	5
P

11分

。13分

21. （本小题满分14分）

解：（Ⅰ）时，，2分

所求切线的斜率为。3分

所以，曲线在点处的切线方程为。4分

（Ⅱ）当时，函数，不符合题意。5分

当时，，

令，得，6分

所以，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增。7分

①当，即时，最小值为。

解，得，符合题意。8分

②当，即时，最小值为。

解，得，不符合题意。9分

综上，。

（Ⅲ）构建新函数。10分

①当，即时，

因为，所以。（且时，仅当时，。）

所以在R上单调递增。

又，所以，当时，对于任意都有。12分

②当时，解，即，

得，

其中。

所以，

且，。

所以在上单调递减。

又，所以存在，使，不符合题意。

综上，a的取值范围为。14分

22. （本小题满分14分）

解：（Ⅰ）的定义域为，2分

由，得，

所以f（x）的单调递增区间为（0，1）。4分

（Ⅱ）。

令，

则不等式恒成立，即恒成立。

。5分

①当时，因为，所以

所以在上是单调递增函数，

又因为，

所以关于x的不等式不能恒成立。6分

②当时，。

令，因为，得，

所以当时，；当时，。

因此函数在是增函数，在是减函数。7分

故函数的最大值为

。8分

令，因为在上是减函数，

又因为，，所以当时，。

所以整数m的最小值为2。10分

（Ⅲ）时，

由，得，即，

整理得，11分

令，则由得，，12分

可知在区间上单调递减，在区间上单调递增。

所以，13分

所以，解得，

因为为正整数，所以成立。14分