上海市徐汇区2016届高三上学期期末学习能力诊断数学（理）试卷

2015学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷

高三数学　理科试卷 　 　 2016.1

1. 填空题：(本题满分56分，每小题4分)
   1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的标准方程是________________．
   2．方程的解是________________．
   3．设，则数列的各项和为________________．
   4．函数的最小值为________________．
   5．若函数的图像与对数函数的图像关于直线对称，则的解析式为________________．
   6．若函数的零点个数为4，则实数的取值范围为________________．
   7．若，且，则的最小值是________________．
   8．若三条直线和相交于一点，则行列式的值为________________．
   9．展开后各项系数的和等于________________．
   10．已知四面体的外接球球心在棱上，，，则、两点在四面体的外接球上的球面距离是________________．
   11．已知函数的定义域为，值域为，则这样的集合最多有 _______．个
   12．正四面体的四个面上分别写有数字0,1,2,3把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为________________．
   13．设是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则=________________．
   14． 已知O是锐角的外心，．若则实数________________．
2. 选择题：（本题满分20分，每小题5分）
   15．已知向量与不平行，且，则下列结论中正确的是-----------------------（ ）
   A． 向量与垂直 B． 向量与垂直
   C． 向量与垂直 D． 向量与平行
   16．设为实数，则“”是“”的-----------------------------（ ）
   A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件
   C． 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
   17．设、均是实数，是虚数单位，复数的实部大于，虚部不小于，则复数在复平面上的点集用阴影表示为下图中的---------------------------------------（ ）
   
   18．设函数的定义域为，若对于任意、，当时，恒有
   ，则称点为函数图像的对称中心．研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到
   的值为---------------（ ）
   A．B．C．D．
3. 解答题：（本大题共5题，满分74分）

19．（本题满分12分）

在三棱锥中，且.

求证并求三棱锥的体积．

20．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分）

已知实数满足且

（1）求实数的取值范围；

（2）求的最大值和最小值，并求此时的值．

21．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分）

节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题.

某地有三家工厂，分别位于矩形的两个顶点、及的中点处，km，km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与、等距离的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道、、.设（弧度），排污管道的总长度为km．

将表示为的函数；

1. 试确定点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到0.01 km）．

22．（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）①小题6分，第（2）②小题7分）

给定数列，记该数列前项中的最大项为，即；

该数列后项中的最小项为，即；

（1）对于数列：3,4,7,1，求出相应的

（2）若是数列的前项和，且对任意有其中为实数，且．

①设证明数列是等比数列；

②若数列对应的满足对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．

23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分）

已知直线、与曲线分别相交于点、和、，我们将四边形称为曲线的内接四边形．

1. 若直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，求的值；
2. 若直线与圆分别交于点、和、，求证：四边形为正方形；
3. 求证：椭圆的内接正方形有且只有一个，并求该内接正方形的面积．

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2015学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷

数学学科（理科）参考答案及评分标准 　 　 2016.1

1. 填空题：(本题满分56分，每小题4分)

１．２．3．4．　5．6．　 7．16　　　　 8．0　 9．28 10．　 11．9 　　12．13．14．

二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）

15．A　　　16．Ｄ　　　17．A　　　18．Ｃ

1. 解答题：（本大题共5题，满分74分）

19．（本题满分12分）

解：因为，,所以平面,所以.又.所以平面.故.--------6分

在中，,所以.----8分

又在中，,所以.---10分

又因为平面,所以.----------12分

20．（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）

解：（1）设，则上式化为，，

即，---------------------------------------------------------------------6分

（2）因为

，---------------------------10分

当，即时，--------------------------------------------------12分

当或，即或时，．---------------------------14分

21．（本题满分16分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）

解：（1）由已知得，

即（其中）-----------------------------------------------6分

（2）记，则，则有，

解得或---------------------------------------------------------------------10分

由于，所以，当，即点在中垂线上离点距离为km处,

取得最小值（km）．-------------------------------------------------14分

22．（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）①小题6分，第（2）②小题7分）

解：（1）---------------------------------------------------------------3分

（2）①当时，所以---------------------------------4分

当时，

两式相减得所以

又

所以，数列是以为首项、为公比的等比数列.----------------- ---------9分

②由①知：；

又，

由于

所以由推得

所以对任意的正整数恒成立.-----------13分

因为所以

------14分

由，得，

但且，所以解得，所以--------------------16分

23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分）

解：（1）由于直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，所以，在等腰直角中，圆心到直线的距离为，同理，------------------------------------4分

（2）由题知，直线关于原点对称，因为圆的圆心为原点，所以，故四边形为平行四边形.易知，点在对角线上.

联立解得，由得

，所以，

于是，因为，所以四边形为正方形.----------------9分

1. 证明：假设椭圆存在内接正方形，其四个顶点为.

当直线的斜率不存在时，设直线、的方程为，因为在椭圆上，所以，由四边形为正方形，易知，，直线、的方程为，正方形的面积.---------------------12分

当直线的斜率存在时，设直线、的方程分别为，

显然.设，联立得

，所以

代人，得，同理可得

，因为为正方形，所以解得

因为，所以，因此，直线与直线关于原点对称，所以原点为正方形的中心（由知，四边形为平行四边形）

由为正方形知，

即

代人得，解得（注：此时四边形为菱形）

由为正方形知，因为直线与直线的距离为，故

但，由得

即，与矛盾.所以，这与矛盾.即当直线的斜率存在时，椭圆内不存在正方形.

综上所述，椭圆的内接正方形有且只有一个，且其面积为.--18分