内蒙古巴彦淖尔市第一中学2018届高三12月月考数学理

巴彦淖尔市第一中学2017-2018学年第一学期12月月考试卷

高三理科数学

试卷类型A出题人高玉收

第I卷选择题（共60分）

一、选择题（每小题只有一个正确答案。每小题5分，12小题共60分）

1．若集合，，则等于（ ）

1. B.C.D.

2．设是虚数单位，若，则复数的共轭复数是( )

1. B.C.D.
   3．已知数列满足，，则( )
   1. 121 B. 136C. 144D. 169
      4．下列命题中真命题为（　　）
      A．，使　 B．，
      C．D．，
      5．在中，分别为的对边，如果成等差数列，，的面积为，那么（ ）
      A．B．C．D．
      6．平面向量满足，在上的投影为，则的模为（ ）
      A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
      7．已知，且，求的最小值是
      A. 4 B. 6 C. 7 D. 9
      8．四棱锥的底面是一个正方形，平面是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 （ ）
      A.B.C.D.
      9．定义为个正数的“均倒数”，已知数列的前项的“均倒数”为，又，则为（ ）
      A.B.C.D.
      10．函数（其中）的部分图象如图所示，将函数的图象（ ）可得的图象．
      A. 向右平移个长度单位
2. 向左平移个长度单位
3. 向左平移个长度单位
4. 向右平移个长度单位
   11．若实数满足不等式组，且的最大值为，则等于（ ）
   1. B.C. D. 1

12．设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，.且.则不等式的解集是（ ）

A.B.

C.D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（每小题5分，4小题共20分）

13．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为

14．若三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积为

15．若，则=

16．下面有关函数的结论中，

正确的序号是

①的周期为

②在上是减函数

③的一个对称中心是

④将的图象向右平移个单位得到函数的图象.

三、解答题（12分+12分+12分+12分+12分+10分）

17.（本题12分）已知分别为三个内角的对边，

（Ⅰ）求角;

（Ⅱ）若,的面积为，求两边.

18．（本题12分）在四棱锥中，底面，底面是直角梯形,，，，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：平面；

19．（本题12分）已知单调递增的等比数列满足，且是,的等差中项.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足，

求数列的通项公式；

20．（本题12分）已知数列满足，，其中.

（Ⅰ）设，求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；

（Ⅱ）设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得对于恒成立，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.

21．（本题12分）已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意的,函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围；

（Ⅲ）求证：.

二选一

22．（本题10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（Ⅰ）解不等式；

（Ⅱ）若不等式有解，求实数的取值范围.

23．（本题10分）选修45：不等式选讲

已知函数．

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）当时，证明：．

高三理科数学参考答案

一、选择题 ADCBB BDBCD AA

二、填空题13．； 14． ； 15．； 16．①②③

三、解答题

17．（1）;（2）.

解：（1）由及正弦定理得，…………………2分

因为，所以，

由于，所以,………………………4分

又，故.………………………………………6分

（2）的面积，故， ………8分

而，故.解得.……12分

18．解：（1） , …………………………2分

，…………………4分

…………………………………………6分

（2）在直角梯形中，，，

∴， ………………………………………………7分

，在中，由勾股定理的逆定理知，

是直角三角形，且， …………… 9分

又底面，,∴， ……………11分

∵，∴平面．……………………………………12分

19．（Ⅰ）;（Ⅱ）.

解：（Ⅰ）设此等比数列为，，，，…，其中，.

由题意知：，①

.②

②①得，

即，解得或.………………………4分

∵等比数列单调递增，∴，，∴；……………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知（），

由（），

得（），…………8分

故，即（），………10分

当时，，，∴……12分

20．(1);(2)的最小值为3.

解：（1），

所以数列是等差数列，………………………………2分

，因此，…………4分

由. ……………………………6分

（2）由，………………7分

所以，

所以，……………………………………8分

因为，所以恒成立，……………………………………10分

依题意要使对于，恒成立，

只需，且解得，

的最小值为.……………………………………12分

21．（1）当时，单调增区间为，减区间为，当时，单调增区间为，减区间为，当时，不是单调函数；（2）；（3）证明见解析.

解：（1）由，……………1分

①当时，显然时，；

当时，，所以此时的单调增区间为减区间为；

②同理当时，的单调增区间为，减区间为；

③当时，不是单调函数．……………………4分

（2）由题知，得，

∴，……………………………5分

∴.…7分

因为,所以一定有两个不等的实根,又因为.

不妨设 , 由已知时时，即在上递减， 在上递增， 依题意知，

于是只需得.……………9分

（3）由（1）知当时，在上递增，

所以.………10分

在上式中分别令得

，

以上不等式相乘得，

两边同除以得，即证．……12分

22．（1）（2）

解：（1），

则当时，不成立；当时，，解得；

当时，成立，

故原不等式的解集为.………………5分

（2）由即有解，

转化为求函数的最小值，

恒成立.

当且仅当即或时，上式取等号，故的最小值为，

，即，

即或，或，

故实数的取值范围是.……………10分

23．（1）；（2）见解析．

解：（1）解：（1）由，得，即，

解得，所以；…………………5分

（2）法一：

因为，故，，，，

故，

又显然，故．……………………10分

法二：因为，故，，

而

，

即，故