海南省国兴中学2017届高三上学期第二次月考数学试卷

国兴中学2016—2017学年度高三第一学期第二次月考数学试卷

(时间：2016-10-22120分钟　满分：150分)

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分).

1．已知集合，，则 ( )

2．平面向量，共线的充要条件是( )

1. ，方向相同B.，两向量中至少有一个为零向量

C.，D. 存在不全为零的实数

3．在中，，，则下列各式中正确的是( )

4．已知向量,向量则的最大值，

最小值分别是( )

A．B．C．D．

5．设角的终边经过点, 则的值等于( )

6．设函数的图像在点处切线的斜率为，则函数的图像为( )

7．函数为奇函数，该函数的部分图象如图所表示，

分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为( )

8．等差数列,的前项和分别为若,则=( )

A．B．C．D．

9．已知，则的值是( )

10．在中，是的中点，，点在上且满足，

则等于( )

11．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，有，则 ( )

A.B.C.D.

12．已知是定义在上的减函数，其导函数满足，则下列结论正确的是( )

A．对于任意，B．对于任意，

C．当且仅当，D．当且仅当，

第Ⅱ卷 (非选择题　共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)

13．设向量，.若，则实数_____.

14．已知数列满足，，，

则________．

15．若在中，则=_______。

16．设是等比数列，公比，为的前项和．记设为数列的最大项，则　　．

17．（本大题12分）

已知函数，若的一条对称轴

离最近的对称中心的距离为．

(1)求的单调递增区间；

(2)在中角的对边满足，且恰是

的最大值，试判断的形状．

18．（本大题12分）

$来&源：设数列的前项和，数列的前项和为，满足。

(1)求的值；

(2)求数列的通项公式．

19．（本大题12分）

已知在递增等差数列中，，是和的等比中项．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，为数列的前项和，是否存在实数，

使得，对于任意的恒成立？若存在，请求实数的

取值范围，若不存在，试说明理由．

20．（本大题12分）

设的三个内角所对的边分别为，向量，，且．

(1)求A的大小；$来&源：

(2)现在给出下列三个条件：①；②；③，

试从中选择两个条件以确定，求出所确定的的面积．

21．（本大题12分）

已知函数．

(1)当时，求函数在点处的切线方程；

(2)求函数的单调区间；

(2)若在上恒成立，求的取值范围．

【选修4-1：几何证明选讲】

22．如图，正方形边长为2，以为圆心、为半径的圆弧与以为

资*源%库直径的半圆交于点，连结并延长交于点．

（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求的值．

【选修4-4：坐标系与参数方程】

23．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，在以直角

坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标

方程为．

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;

（Ⅱ）若直线与曲线相交于两点，求的面积．

【选修4-5：不等式选讲】

24．设函数．

（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值;

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式的解集非空，

求实数的取值范围．

(时间：2016-10-21120分钟　满分：150分)

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分).

1．解：A.,，所以

2．解：D.A.，共线不一定同向；B.，是非零向量也可以共线；

C.，，当时不成立。

3．解：A.，所以

也就是

4．解：D.

5．解：C. 点P在单位圆上，故，

。

6．解：B. 由得，即，易见，

为奇函数，且在上，。

7．解：A.为奇函数，故，代入得

，而,所以，

也就是，，。

8．解：B.

9．解：A.,所以

10．解：A.∵是的中点，知是边上的中线，

又由点在上且满足

∴是三角形的重心∴

又∵∴∴

11．解：D.，，

不妨取，则有

12．解：B.∵，是定义在上的减函数，∴，

∴，，

即，∴函数在上单调递增，

而时，，则时，，

即当时，，，

此时；

又是定义在上的减函数，∴时，也成立。

∴对任意成立。

第Ⅱ卷 (非选择题　共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)

13．解：

即，所以,

14．解：因为

15．解：所以由余弦定理得：

，由正弦定理可得：

资*源%库16．解：

，因为，

当且仅当，即时取等号，所以当时有最大值．

17．解:(1)

，

∵的对称轴离最近的对称中心的距离为，∴T=π，

∴．

由得：，

∴函数单调增区间为；

(2)∵，由正弦定理可得

，

而，故有，

∴

∴

根据正弦函数的图象可知，无最小值，有最大值，

此时，即，∴，为等边三角形．

18．解：(1)当时由得，解得。

(2)当时有①，②

①-②得：③，则有④

③-④得：，，故

所以是以3为首项，公比为2的等比数列，

代入通项公式得，所以

19．解：(1)由为等差数列，设公差为，则，

∵是和的等比中项，

∴，即，

解得（舍）或，∴．

(2)存在．

，

∴的前项和

，

∴存在实数，使得对于任意的恒成立．

20．解：(1)因为，所以，

所以，

因为，所以，所以．

(2)方案一：选择①②，可以确定，

因为，，，

由余弦定理得：，

整理得：，，，

所以．

方案二：选择①③，可以确定，

因为，，，，

又．

由正弦定理得：，

所以．

21．解：(1)当时，，，

所以函数在点处的切线方程为

即：

(2)函数的定义域为：，

当时，恒成立，

所以在和上单调递增。

当时，令

即解得，

由得；由得；

资*源%库所以单调递增区间为；

单调递减区间为。

(3)因为在上恒成立，令，

则，

令则，若即时，，

函数在上单调递增，又，

所以在上恒成立；…

若即时，当时，

，单调递增；

当时，，单调递减；

所以在上的最小值为，

因为，所以不合题意。

即时，当时，

，单调递增；

当时，，单调递减，

所以在上的最小值为，所以恒成立。

综上所述可知，实数的取值范围是。

22。证明：（Ⅰ）由以为圆心为半径作圆，而为正方形，

∴为圆的切线

依据切割线定理得，

另外圆以为直径，∴是圆的切线，

同理依据切割线定理得，

故．

解：（Ⅱ）连结，∵为圆直径，∴，

由，得，

又在中，由射影定理得．

23．解：（Ⅰ）由曲线的极坐标方程是：，得．

∴由曲线的直角坐标方程是：．由直线的参数方程，得代入中消去得：，所以直线的普通方程为：。

（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角方程得，

设两点对应的参数分别为，所以有：

，

而原点到直线的距离，所以

的面积：

24．解：（Ⅰ）∵，∴，，

∴．而的解集为，

故有，解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）得∴由

化简

令，的图象如下。

要使不等的解集非空，只需，或，

∴的取值范是．