海南省文昌中学2015届高三5月段考数学（文）试卷

2014—2015学年度第二学期

高三年级数学(文科)段考试题

（总分：150分，考试时间：120分钟）

第Ⅰ卷选择题（共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，下列每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的代号，涂在答题卡上）

1．设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩∁_UN＝{2,4}，则N＝(　　)

A．{1,2,3}B．{1,3,5}C．{1,4,5}D．{2,3,4}

2．已知a、b分别为直线y＝x＋1的斜率与纵截距，复数z＝在复平面上对应的点到原点的距离为(　　)

A．1　　B．2　　　 　C．4　　　　D．

3.点A_n(n，a_n)(n∈N^*)都在函数f(x)＝log_ax(a>0且a≠1)的图象上，则a₂＋a₁₀与2a₆的大小关系为(　　)

A．a₂＋a₁₀>2a₆B．a₂＋a₁₀<2a₆

C．a₂＋a₁₀＝2a₆D．a₂＋a₁₀与2a₆的大小与a有关

4．下列命题正确的是(　　)

A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

5．设{a_n}是等比数列，则“a₁<a₂<a₃”是“数列{a_n}是递增数列”的(　　)

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

6．某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是(　　)

(锥体体积公式：V＝Sh，其中S为底面面积，h为高)

A．3

B．2

C．

D．1

7．知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F₁、F₂，P为双曲线C的右支上一点，且|PF₂|＝|F₁F₂|，则ΔPF₁F₂的面积等于(　　)

A．24B．36C．48D．96

8．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，如果x₁，x₂∈(－，)，且f(x₁)＝f(x₂)，则f(x₁＋x₂)＝(　　)

A．B．

C．D．1

9．设p在上随机地取值，则关于x的方程x²＋px＋1＝0有实数根的概率为(　　)

A．B．C．D．

10．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表所示.

为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为(　　)

A．50，0B．30，20C．20，30D．0，50

11．已知a为常数，若曲线y＝ax²＋3x－lnx存在与直线x＋y－1＝0垂直的切线，则实数a的取值范围是(　　)

A．

C．

12．已知正项等比数列{a_n}满足a₇＝a₆＋2a₅，若存在两项a_m，a_n使得＝4a₁，则＋的最小值为(　　)

A．B．C．D．

第Ⅱ卷非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在答卷上）

13．图1是某学生的数学成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为A₁、A₂、…、A₁₄.图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是________．

14．已知向量a＝，b＝(x，1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x的值为________．

15．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则方程f(x)＝x的解的

个数是________．

16．已知等比数列{a_n}满足a_n＋1＋a_n＝9·2^n－1，n∈N^*，设数列{a_n}的前n项和为S_n.若不等式S_n>ka_n－2对一切n∈N^*恒成立，则实数k的取值范围是________．

三、解答题：本大题共６小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

在中，，，.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的面积.

18.（本小题满分12分）

某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；

（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？

19．（本小题满分12分）

如图，平面ABC，EB//DC，AC=BC=EB=2DC=2，，P、Q分别为DE、AB的中点。

（1）求证：PQ//平面ACD；

（2）求几何体B—ADE的体积；

20．（本小题满分12分）

已知椭圆的焦点为，，且经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过的直线与椭圆交于、两点，问在椭圆上是否存在一点，使四边形为平行四边形，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.

21．(本小题满分12分)

设函数，其中为大于零的常数。

（1）当时，求函数的单调区间和极值；

（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围。

选考题：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。

22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，四边形ABCD内接于⊙,是⊙的直径，于点,平分.

（1）证明：是⊙的切线

（2）如果,求.

23.（本小题满分10分）选修4－4:坐标系与参数方程

极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点O为极点，以轴正半轴为极轴.已知曲线C₁的极坐标方程为，曲线C₂的参数方程是

（为参数，），射线(与曲线C₁交于极点O外的三点A，B，C.

（1）求证：|OB|+|OC|=|OA|;

（2）当时，B，C两点在曲线C₂上，求的值.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数

（1）＝－3时，求不等式的解集；

（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围

高三年级数学(文科)段考试题参考答案

第Ⅰ卷选择题（共60分）

一、选择题

二、填空题

13. 10 14. 4 15. 3 16.(－∞，)

三、解答题

17．解：(I)在中,因为

所以

因为,所以

又解得

因为所以

(II)因为,所以

解得因为所以

由正弦定理,代入得到

所以

18.解：(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．

所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A₁，A₂，A₃；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B₁，B₂.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A₁，A₂)，(A₁，A₃)，(A₂，A₃)，(A₁，B₁)，(A₁，B₂)，(A₂，B₁)，(A₂，B₂)，

(A₃，B₁)，(A₃，B₂)，(B₁，B₂)．

其中，至少1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是

(A₁，B₁)，(A₁，B₂)，(A₂，B₁)，(A₂，B₂)，(A₃，B₁)，(A₃，B₂)，(B₁，B₂)．

故所求的概率P＝.

(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：

所以得

＝＝≈1.79.

因为1.79<2.706，

所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．

19．（本小题满分12分）

（1）证明：取的中点，连接，易证平面⊥

又⊥………………………………（４分）

（2）…（９分）

……………………………………（12分）

20．（本小题满分12分）

解：（1）…………………………………………（2分）

， ……………………………………………………（3分）

椭圆的方程为…………………………………（4分）

（2）假设存在符合条件的点,

设直线的方程为…………………………………………（5分）

由得:，

，的中点为…（7分）

四边形为平行四边形

与的中点重合，即：

…………………………………（9分）

把点坐标代入椭圆的方程得:

解得……………………………………………………（11分）

存在符合条件的直线的方程为：…………（12分）

21．(本小题满分12分)

解析：(1)当时，，

令得，令得

故函数的单调递增区间为，减区间为.

从而在的极小值为=，无极大值…………（4分）

（2）.

①当，即时，函数在上递增，

……………（6分）

②当

……………………（8分）

③当

所以………（10分）

综上，所求的取值范围为……………………………（12分）

22．选修4－1：几何证明选讲

解：（1）连结OA，则OA＝OD，所以∠OAD＝∠ODA，

又∠ODA＝∠ADE，所以∠ADE＝∠OAD，所以OA∥CE．

因为AE⊥CE，所以OA⊥AE．

所以AE是⊙O的切线.…………………………………………（5分）

（2）由（Ⅰ）可得△ADE∽△BDA，

所以＝，即＝，则BD＝2AD，

所以∠ABD＝30，从而∠DAE＝30，所以DE＝AEtan30＝．

由切割线定理，得AE²＝ED·EC，

所以4＝(＋CD)，所以CD＝.……………………（10分）

23.选修4－4：坐标系与参数方程

………………………………（2分）

…………………………………………………（5分）

…………………（7分）

…………（9分）

………………………………（10分）

24.选修4—5：不等式选讲

解：(1)当a＝－3时，为≤6，

等价于或

或………………………………………（3分）

解得或或，

所以不等式的解集为； …………………………（5分）

(Ⅱ)因为=， ………………（7分）

所以＜，解得

实数a的取值范围（-，）． ……………………………………（10分）