海南省文昌中学2015届高三5月段考数学（理）试卷

2014—2015学年度第二学期

高三年级数学(理科)段考试题

（总分：150分，考试时间：120分钟）

第Ⅰ卷选择题（共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，下列每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的代号，涂在答题卡上）

1．设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩∁_UN＝{2,4}，则N＝（ ）

A．{1,2,3}B．{1,3,5}C．{1,4,5}D．{2,3,4}

2．已知a、b分别为直线y＝x＋1的斜率与纵截距，复数z＝在复平面上对应的点到原点的距离为（ ）

A．1　　B．2　　　　C．4　　　　D．

3．已知点A_n(n，a_n)(n∈N^*)都在函数f(x)＝log_ax(a>0且a≠1)的图象上，则a₂＋a₁₀与2a₆的大小关系为（ ）

A．a₂＋a₁₀>2a₆B．a₂＋a₁₀<2a₆

C．a₂＋a₁₀＝2a₆D．a₂＋a₁₀与2a₆的大小与a有关

4．下列命题正确的是（ ）

A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

5．设{a_n}是等比数列，则“a₁<a₂<a₃”是“数列{a_n}是递增数列”的（ ）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

6．某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）

(锥体体积公式：V＝Sh，其中S为底面面积，h为高)

A．3

B．2

C．

D．1

7．已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F₁、F₂，P为双曲线C的右支上一点，且|PF₂|＝|F₁F₂|，则ΔPF₁F₂的面积等于（ ）

A．24B．36C．48D．96

8．函数y＝cos(2x＋)－2的图象F按向量a平移到F′，F′的函数解析式为y＝f(x)，当y＝f(x)为奇函数时，向量a可以等于（ ）

A．(－，－2)B．(－，2)C．(，－2)D．(，2)

9．某班班会准备从含甲、乙、丙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一个参加，若甲、乙同时参加时丙不能参加，且甲、乙两人的发言顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有（ ）

A．484种B．552种C．560种D．612种

10．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表所示.

为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为（ ）

A．50，0B．30，20C．20，30D．0，50

11．已知a为常数，若曲线y＝ax²＋3x－lnx存在与直线x＋y－1＝0垂直的切线，则实数a的取值范围是（ ）

A．C．

12．定义在R上的函数f（x）满足：f (x)+(x)>l，f (0)=4，则不等式e^xf(x)>e^x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）

A．B．

C．D．

第Ⅱ卷非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在答卷上）

13．图1是某学生的数学成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为A₁、A₂、…、A₁₄.图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是________．

14．已知数列中，，且数列是等差数列，则=___________．

15．已知点O为的外心，且,则____________．

16．下列结论中正确的是．

①函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）=－f（x），则函数y=f（x）的图像关于直线x=1对称；

②

③

④线性相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个变量线性相关程度越弱

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝，cos²A－cos²B＝sinAcosA－sinBcosB.

1. 求角C的大小；
2. 若sinA＝，求△ABC的面积．

18．（本小题满分12分 ）某次飞镖比赛中，规定每人最多发射3镖．在M处每射中一镖得3分，在N处每射中一镖得2分，如果前两次得分之和超过3分即停止发射，否则发射第三镖．某选手在M处的命中率q₁为0.25，在N处的命中率为q₂，该选手选择先在M处发射第一镖，以后都在N处发射．用X表示该选手比赛结束后所得的总分，其分布列为：

（1）求随机变量X的数学期望E（X）；

（2）试比较该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分与选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率的大小．

19．（本小题满分12分）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，∥，，点在线段上．

（1）当点为中点时，求证：∥平面；

（2）当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆的焦点为，，且经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过的直线与椭圆交于、两点，问在椭圆上是否存在一点，使四边形为平行四边形，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.

21．(本小题满分12分)已知函数.

（1）当时,求函数的单调区间;

（2）若函数有两个极值点,且,求证:;

（3）设,对于任意时,总存在,使成立，求实数的取值范围.

四、选考题：（从下列三道解答题中作选一题作答，作答时，请注明题号；若多做，则按首做题计入总分） 。(本题满分10分)

22．选修4－1：几何证明选讲

如图，四边形ABCD内接于⊙,是⊙的直径，

于点,平分.

（1）证明：是⊙的切线

（2）如果,求.

23．选修4-4：坐标系与参数方程选讲

极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点O为极点，以轴正半轴为极轴. 已知曲线C₁的极坐标方程为，曲线C₂的参数方程是（为参数，），射线(与曲线C₁交于极点O外的三点A，B，C.

（1）求证：|OB|+|OC|=|OA|;
（2）当时，B，C两点在曲线C₂上，求的值.

24．选修4—5：不等式选讲

已知函数

（1）a＝－3时，求不等式的解集；

（2）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围

高三年级数学(理科)段考试题参考答案

第Ⅰ卷选择题（共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分

第Ⅱ卷非选择题（共90分）

二、填空题

13.1014.15.616.①②③

三、解答题

17．解：(1)由题意得－＝sin 2A－sin 2B，…………………2分

即sin 2A－cos 2A＝sin 2B－cos 2B，sin＝sin. … 4分

由a≠b，得A≠B.又A＋B∈(0，π)，得2A－＋2B－＝π，

即A＋B＝，所以C＝.………………………………6分

(2)由c＝，sinA＝，＝，得a＝.………………………………8分

由a<c，得A<C，从而cosA＝，

故sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC

＝，……………………………………………………10分

所以，△ABC的面积为S＝acsinB＝.…………………………12分

18．解：（1）设该选手在处射中为事件,在处射中为事件,则事件相互独立， 且，，，.

根据分布列知:

当时，=0.03，

所以，. ……………………………………………… 3分

当时,

，

当时,，

当时,，

当时,

所以随机变量的分布列为：

	0	2	3	4	5
	0.03	0.24	0.01	0.48	0.24

故随机变量的数学期望. ……… 8分

（2）该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率为.

该选手选择都在处发射飞镖得分超过3分的概率为

.

所以该选手选择都在处发射飞镖得分超过3分的概率大……………… 12分

19．解：（1）以直线、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则，，，

所以．∴．…………………………………………3分

又是平面的一个法向量．

∵即，∴∥平面．…………………6分

（2）设，则，又

设，

则，即．……………………………8分

设是平面的一个法向量，则

，，

取得，即

又由题设，是平面的一个法向量，

∴．……10分

即点为中点，此时，，为三棱锥的高，

∴． …………………………………… 12分

20．解：（1）…………………………………………2分

， …………………………………………………………3分

椭圆的方程为 ………………………………………… 4分

（2）假设存在符合条件的点,

设直线的方程为 …………………………………………… 5分

由得:，

，

的中点为 …………………………………… 7分

四边形为平行四边形

与的中点重合，即：

……………………………………………9分

把点坐标代入椭圆的方程得:

解得………………………………………………………………11分

存在符合条件的直线的方程为：………………12分

21．解:

1. 当时,, ………………………………………………… 2分
   令或,,
   的递增区间为和,递减区间为. ………………………… 4分
2. 由于有两个极值点,则有两个不等的实根,
   ∴
   …………………………………… 6分
   设
   ,在上递减,
   ,即. …………………………………… 8分
3. ,

,,在递增,

,

在上恒成立 ………………………… 9分

令,

则在上恒成立

,又

当时，,在(2,4)递减,,不合; ……………………10分

当时,,

①时,在(2,)递减,存在,不合; ……11分

②时,在(2,4)递增,,满足.

综上, 实数的取值范围为. ……………………………………………12分

四、选考题：

22．解：（1）如图，连结OA，则OA＝OD，所以∠OAD＝∠ODA，

又∠ODA＝∠ADE，所以∠ADE＝∠OAD，所以OA∥CE．

因为AE⊥CE，所以OA⊥AE．

所以AE是⊙O的切线.…………………………5分

（2）由（Ⅰ）可得△ADE∽△BDA，

所以＝，即＝，则BD＝2AD，

所以∠ABD＝30，从而∠DAE＝30，

所以DE＝AEtan30＝．

由切割线定理，得AE²＝ED·EC，

所以4＝(＋CD)，所以CD＝.……………………………10分

………………………………2分

…………………………………………………5分

…………7分

……9分

……………………………………10分

24．解：(1)当a=-3时，为≤6，等价于或或， ……………… 3分 解得或或，

所以不等式的解集为；……………………………………5分

(2)因为=，……………………7分

所以＜，解得

实数a的取值范围（-，）． …………………………………………10分