2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷及答案-全国1

2007年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

参考公式：

如果事件互斥，那么球的表面积公式

如果事件相互独立，那么其中表示球的半径

球的体积公式

如果事件在一次试验中发生的概率是，那么

次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中表示球的半径

一、选择题

（1）设，，则（　　）

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

（2）是第四象限角，，（　　）

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

（3）已知向量，，则与（　　）

Ａ．垂直Ｂ．不垂直也不平行Ｃ．平行且同向Ｄ．平行且反向

（4）已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为（　　）

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

（5）甲、乙、丙位同学选修课程，从门课程中，甲选修门，乙、丙各选修门，则不同的选修方案共有（　　）

Ａ．种Ｂ．种Ｃ．种Ｄ．种

（6）下面给出四个点中，位于表示的平面区域内的点是（　　）

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

（7）如图，正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

（8）设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（　　）

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

（9），是定义在上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的（　　）

Ａ．充要条件Ｂ．充分而不必要的条件

Ｃ．必要而不充分的条件Ｄ．既不充分也不必要的条件

（10）函数的一个单调增区间是（　　）

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

（11）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（　　）

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

（12）抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是（　　）

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．

2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．

3．本卷共10题，共90分．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．

（13）从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取袋，测得各袋的质量分别为（单位：）：

根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的概率约为_____．

（14）函数的图像与函数的图像关于直线对称，则____________．

（15）正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点S，A，B，C，D都在同一个球面上，则该球的体积为_________．

（16）等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为______．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分10分）

设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．

（Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）若，，求b．

（18）（本小题满分12分）

某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．

（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；

（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．

（19）（本小题满分12分）

四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD，已知，，，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．

（20）（本小题满分12分）

设函数在及时取得极值．

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．

（21）（本小题满分12分）

设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，

（Ⅰ）求，的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和．

（22）（本小题满分12分）

已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于B，D两点，过的直线交椭圆于A，C两点，且，垂足为P．

（Ⅰ）设P点的坐标为，证明：；

（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．

2007年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学试题（必修＋选修1）参考答案

一、选择题

1．Ｄ　　2．Ｂ　　3．Ａ　　4．Ａ　　5．Ｃ　　6．Ｃ　　7．Ｄ　　8．Ｄ　　9．Ｂ

10．Ｄ　　11．Ａ　　12．Ｃ

二、填空题

13．　　14．　　15．　　16．

三、解答题

17．解：

（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，

由为锐角三角形得．

（Ⅱ）根据余弦定理，得．

所以，．

18．解：

（Ⅰ）记表示事件：“位顾客中至少位采用一次性付款”，则表示事件：“位顾客中无人采用一次性付款”．

，

．

（Ⅱ）记表示事件：“位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过元”．

表示事件：“购买该商品的位顾客中无人采用分期付款”．

表示事件：“购买该商品的位顾客中恰有位采用分期付款”．

则．

，．

．

19．解法一：

（1）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．

因为，所以，

又，故为等腰直角三角形，，

由三垂线定理，得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

依题设，

故，由，

，

．

又，作，垂足为，

则平面，连结．为直线与平面所成的角．

所以，直线与平面所成的角为．

解法二：

（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．

因为，所以．

又，为等腰直角三角形，．

如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，

因为，

，

又，所以，

，．

，，

，，所以．

（Ⅱ），.

与的夹角记为，与平面所成的角记为，因为为平面的法向量，所以与互余．

，，

所以，直线与平面所成的角为．

20．解：

（Ⅰ），

因为函数在及取得极值，则有，．

即

解得，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，

．

当时，；

当时，；

当时，．

所以，当时，取得极大值，又，．

则当时，的最大值为．

因为对于任意的，有恒成立，

所以　，

解得　或，

因此的取值范围为．

21．解：

（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有且

解得，．

所以，

．

（Ⅱ）．

，①

，②

②－①得，

．

22．证明

（Ⅰ）椭圆的半焦距，

由知点在以线段为直径的圆上，

故，

所以，．

（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．

设，，则

，，

；

因为与相交于点，且的斜率为．

所以，．

四边形的面积

．

当时，上式取等号．

（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．

综上，四边形的面积的最小值为．