2014年全国高考理科数学试题及答案-福建卷

2014年福建高考数学试题（理）

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.复数的共轭复数等于（ ）

2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）

圆柱圆锥四面体三棱柱

3.等差数列的前项和，若，则( )

4.若函数的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（ ）

5. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的得值等于（ ）

6. 直线与圆相交于两点，则“”是“的面积为”的（ ）

充分而不必要条件必要而不充分条件

充分必要条件既不充分又不必要条件

1. 已知函数则下列结论正确的是（ ）

A.是偶函数B.是增函数

C.是周期函数D.的值域为

1. 在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（ ）
   1. B.

C.D.

9. 设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（ ）

A.B.C.D.

10.用代表红球，代表蓝球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“”表示取出一个红球，面“”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是

A.B.

C.D.

1. 填空题

1. 若变量满足约束条件则的最小值为________

12、在中，,则等于_________

13、要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）

14、如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______.

1. 若集合且下列四个关系：

①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是_________.

1. 解答题：本大题共6小题，共80分.

1. （本小题满分13分）

已知函数.

1. 若，且，求的值；
2. 求函数的最小正周期及单调递增区间.

17.（本小题满分12分）

在平行四边形中，，.将沿折起，使得平面平面，如图.

1. 求证：；
2. 若为中点，求直线与平面所成角的正弦值.

18.（本小题满分13分）

为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.

（Ⅰ）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求

（ⅰ）顾客所获的奖励额为60元的概率

（ⅱ）顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;

（Ⅱ）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和

50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励

总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球

的面值给出一个合适的设计，并说明理由.

19.（本小题满分13分）

已知双曲线的两条渐近线分别为.

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由。

20. （本小题满分14分）

已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为-1.

（Ⅰ）求的值及函数的极值；

（Ⅱ）证明：当时，；

（Ⅲ）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.

1. 本题设有（1），（2），（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.

（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换

已知矩阵的逆矩阵.

（Ⅰ）求矩阵；

（Ⅱ）求矩阵的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.

（2）（本小题满分7分）选修4—4：极坐标与参数方程

已知直线的参数方程为，（为参数），圆的参数方程为，（为常数）.

（Ⅰ）求直线和圆的普通方程；

（Ⅱ）若直线与圆有公共点，求实数的取值范围.

（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选将

已知定义在R上的函数的最小值为.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若为正实数，且，求证：.

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分50分。

1.C2.A3.C4.B5.B6.A7.D8.B9.D10.A

二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题4分，满分20分。

11. 112.13. 16014.15. 6

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和与差的三角函数公式及三角函数的图像与性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。满分13分。

解法一：

（Ⅰ）因为，，所以

所以

（Ⅱ）因为

所以

由，得

所以的单调递增区间为

解法二：

（Ⅰ）因为，，所以

从而

（Ⅱ）

由，得

所以的单调递增区间为

17.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想。满分13分。

解：

（Ⅰ）∵平面平面，平面平面平面，

，∴平面

又平面，∴

（Ⅱ）过点在平面内作，如图

由（Ⅰ）知平面，平面，平面，

∴

以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系

依题意，得，，，，，

则，，，

设平面的法向量，

则即

取，得平面的一个法向量

设直线与平面所成角为，

则，

即直线与平面所成角的正弦值为

17.本小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想。满分13分。

解：

（Ⅰ）设顾客所获的奖励额为

（ⅰ）依题意，得

即顾客所获得的奖励额为60元的概率为

（ⅱ）依题意，得的所有可能取值为20，60

，，

即的分布列为

	20	60
	0.5	0.5

所以顾客所获得奖励额的期望为（元）

（Ⅱ）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元。所以，先寻找期望为60元的可能方案。对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择（10，10，10，50）的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择（50，50，50，10）的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是（10，10，50，50），记为方案1.

对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除（20，20，20，40）和（40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是（20，20，40，40），记为方案2.

以下是对两个方案的分析：

对于方案1，即方案（10，10，50，50），设顾客所获的奖励额为，则的分布列为

	20	60	100

的期望为，

的方差为

对于方案2，即方案（20，20，40，40），设顾客所获的奖励额为，则的分布列为

	40	60	80

的期望为，

的方差为

由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.

注：第（Ⅱ）问，给出方案1或方案2的任一种方案，并利用期望说明所给方案满足要求，给3分；进一步比较方差，说明应选择方案2，再给2分。

19.本小题主要考查双曲线的方程与性子、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类与整合思想、函数与方程思想。满分13分。

解法一：

（Ⅰ）因为双曲线的渐近线分别为，

所以，

所以，

故，

从而双曲线的离心率

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，双曲线的方程为

设直线与轴相交于点

当轴时，若直线与双曲线有且只有一个公共点，

则，

又因为的面积为8，

所以，

因此，解得，

此时双曲线的方程为

若存在满足条件的双曲线，则的方程只能为

以下证明：当直线不与轴垂直时，双曲线也满足条件。

设直线的方程为，依题意，得或，

则，记

由得，同理得

由得，

，即

由得，

因为，

所以，

又因为，

所以，即与双曲线有且只有一个公共点

因此，存在总与有且只有一个公共点的双曲线，且的方程为

解法二：

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，双曲线的方程为

设直线的方程为

依题意得

由得，同理得

设直线与轴相交于点，则

由，得，

所以

由得，

因为，直线与双曲线有且只有一个公共点当且仅当

，

即，即，即，

所以，

因此，存在总与有且只有一个公共点的双曲线，且的方程为

解法三：

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）当直线不与轴垂直时，设直线的方程为

依题意得或

由得，

因为，所以，

又因为的面积为8，

所以，又易知，

所以，化简得

所以，即

由（Ⅰ）得双曲线的方程为

由得，

因为，直线与双曲线有且只有一个公共点当且仅当

，

即，所以，

所以双曲线的方程为

当轴时，由的面积等于8可得，又易知与双曲线有且只有一个公共点

综上所述，存在总与有且只有一个公共点的双曲线，且的方程为

20.本小题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词与存在量词等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想。满分14分。

解法一：

（Ⅰ）由，得

又，得

所以，

令，得

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

所以当时，取得极小值，

且极小值为，

无极大值。

（Ⅱ）令，则

由（Ⅰ）得，

故在上单调递增，又，

因此，当时，，即

（Ⅲ）① 若，则，又由（Ⅱ）知，当时，

所以当时，

取，当时，恒有

② 若，令，要使不等式成立，只要成立。

而要使成立，则只要，只要成立

令，则，

所以当时，在内单调递增

取，所以在内单调递增，

又，

易知，所以

即存在，当时，恒有

综上，对任意给定的正数，总存在，当时，恒有。

解法二：

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）同解法一

（Ⅲ）对任意给定的正数，取，

由（Ⅱ）知，当时，，所以，

当时，，

因此，对任意给定的正数，总存在，当时，恒有。

解法三：

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）同解法一

（Ⅲ）首先证明当时，恒有

证明如下：

令，则

由（Ⅱ）知，当时，，

从而在单调递减，

所以，即

取，当时，有

因此，对任意给定的正数，总存在，当时，恒有。

注：对的分类可有不同的方式，只要解法正确，均相应给分。

21.

（1）选修4-2：矩阵与变换

本小题主要考查逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。满分7分。

解：

（Ⅰ）因为矩阵是矩阵的逆矩阵，且，

所以

（Ⅱ）矩阵的特征多项式为，

令，得矩阵的特征值为或

所以是矩阵的属于特征值的一个特征向量，

是矩阵的属于特征值的一个特征向量。

（2）选修4-4：坐标系与参数方程

本小题主要考查直线与圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。满分7分。

解：

（Ⅰ）直线的普通方程为

圆的普通方程为

（Ⅱ）因为直线与圆有公共点，

故圆的圆心到直线的距离，

解得

（3）选修4-5：不等式选讲

本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。满分7分。

解：

（Ⅰ）因为，

当且仅当时，等号成立，

所以的最小值等于3，即

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又因为是正实数，

所以

，

即