2014年全国高考理科数学试题及答案-辽宁卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集，则集合（ ）
   A．B．C．D．
2. 设复数z满足，则（ ）
   A．B．C．D．
3. 已知，，则（ ）
   A．B．C．D．
4. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）
   A．若则B．若，，则
   C．若，，则D．若，，则
5. 设是非零向量，学科 网已知命题P：若，，则；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（ ）
   A．B．C．D．
6. 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）
   A．144 B．120 C．72 D．24
7. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
   A．B．C．D．
8. 设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（ ）
   A．B．C．D．
9. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
   A．在区间上单调递减
   B．在区间上单调递增
   C．在区间上单调递减
   D．在区间上单调递增
10. 已知点在抛物线C：的准线上，学 科网过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（ ）
    A．B．C．D．
11. 当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
    A．B．C．D．
12. 已知定义在上的函数满足：
    ①；
    ②对所有，且，有.
    若对所有，，则k的最小值为（ ）
    A．B．C．D．
    第Ⅱ卷（共90分）
    二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 执行右侧的程序框图，若输入，则输出.
14. 正方形的四个顶点分别在抛物线和上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在阴影区域的概率是 .
15. 已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则.
16. 对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为 .

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，，，求：

（1）a和c的值；

（2）的值.

18. （本小题满分12分）

一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.

（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；

（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望及方差.

19. （本小题满分12分）

如图，和所在平面互相垂直，且，，E、F分别为AC、DC的中点.

（1）求证：；

（2）求二面角的正弦值.

20. （本小题满分12分）

圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为.

（1）求的方程；

（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程.

21. （本小题满分12分）

已知函数，.

证明：（1）存在唯一，使；

（2）存在唯一，使，且对（1）中的.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.

（1）求证：AB为圆的直径；

（2）若AC=BD，求证：AB=ED.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.

（1）写出C的参数方程；

（2）设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数，，记的解集为M，的解集为N.

（1）求M；

（2）当时，证明：.

一、选择题

1.D2.A3.C4.B5.A6.D

7.B8.C9.B10.D11.C12.B

二、填空题

13.14.15. 1216. -2

三、解答题

17.解：

（Ⅰ）由得，又，所以，

由余弦定理，得

又，所以

解，得或

因为，所以

（Ⅱ）在中，

由正弦定理，得

因，所以C为锐角，因此

于是

18.解：

（Ⅰ）设表示事件“日销售量不低于100个”，表示事件“日销售量低于50个”，表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”，因此

（Ⅱ）可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为

，

，

，

，

分布列为

	0	1	2	3
	0.064	0.288	0.432	0.216

因为（3，0.6），所以期望，方差

19.（Ⅰ）证明：

方法一：过点做，垂足为，连接

由可证出，

所以，即

又,，

所以平面，又平面，

所以

方法二：由题意，以为坐标原点，在平面内过作垂直的直线，并将其作为轴，所在直线为轴，在平面内过作垂直的直线，并将其作为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得

，，，，

因而，，

所以，，

因此

从而，所以

（Ⅱ）方法一：在图1中，过点做，垂足为G，连接EG，因为平面平面，所以面，又，所以由三垂线定理知，

因此为二面角的平面角

在中，

由知，，

因此

从而得

即二面角的正弦值为

方法二：在图2中，平面的一个法向量为

设平面的法向量，

又，

所以得其中一个

设二面角的大小为，且由题知为锐角，

则

因此，即所求二面角的正弦值为

20.解：

（Ⅰ）设切点坐标为，则切线斜率为，

切线方程为，即，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为，

由知，当且仅当时有最大值，即有最小值，因此点P的坐标为

由题意知，

解得，故的方程为

（Ⅱ）由（Ⅰ）知的焦点坐标为，由此设的方程为，其中

由在上，得

解得，因此方程为

显然，不是直线，设的方程为，点，

由

得，又是方程的根，因此

①

由，得

②

因，由题意知，所以

③

将①②代入③式整理得

解得或，因此直线的方程为

或

21.证明：

（Ⅰ）当时，，函数在上为减函数，又，所以存在唯一，使

（Ⅱ）考虑函数

令，则时，

记，则

由（Ⅰ）得，当时，，当时，

在上是增函数，又，从而当时，，所以在上无零点

在上是减函数，由，知存在唯一，使

所以存在唯一的，使

因此存在唯一的，使

因为当时，，故与有相同的零点，所以存在唯一的，使

因，所以

22.证明：

（Ⅰ）因为，所以

由于为切线，故，又由于，故，

所以，从而

由于，所以，于是，故是直径。

（Ⅱ）连接

由于是直径，故

在与中，，从而，于是

由因为，所以，故

由于，所以，为直角。

于是为直径，由（Ⅰ）得

23.解：

（Ⅰ）设为圆上的点，在已知变换下变为上点，依题意，得

由得，即曲线的方程为

故的参数方程为（为参数）

（Ⅱ）由解得：，或

不妨设，则线段的中点坐标为，所求直线斜率为，于是所求直线方程为，

化为极坐标方程，并整理得

，即

24.解：

（Ⅰ），

当时，由得，故；

当时，由得，故

所以的解集为

（Ⅱ）由得，解得

因此，故

当时，，于是