2014年全国高考理科数学试题及答案-重庆卷

2014年重庆高考数学试题（理）

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.在复平面内表示复数的点位于（ ）

第一象限第二象限

第三象限第四象限

2.对任意等比数列,下列说法一定正确的是（ ）

成等比数列成等比数列

成等比数列成等比数列

3. 已知变量与正相关，且由观测数据算得样本的平均数，，则由观测的数据得线性回归方程可能为（ ）

4.已知向量，且，则实数k=

1. C.3 D.

5. 执行如题（5）图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是。

A．B.C.D.

6.已知命题

对任意，总有；

是的充分不必要条件

则下列命题为真命题的是（ ）

1. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A.54 B.60 C.66 D.72

1. 设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为（ ）

1. B.C.D.3

9. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则 类节目不相邻的排法种数是（ ）

A.72 B.120 C.144 D.3

1. 已知的内角，面积满足所对的边，则下列不等式成立的是（ ）
   1. B.C.D.

二、填空题 本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。

11.设全集______.

12.函数的最小值为_________.

1. 已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数_________.

考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.

1. 过圆外一点作圆的切线（为切点），再作割线，分别交圆于，，
   若，AC=8，BC=9，则AB=________.
2. 已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，正半轴为极轴

线与曲线的公共点的极经________.

1. 若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是

____________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.

17. （本小题13分，（I）小问5分，（II）小问8分）

已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.

（I）求和的值；

（II）若，求的值.

18.（本小题满分13分）

一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字

是2,2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片.

（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;

（2）表示所取3张卡片上的数字的中位数，求的分布列（注：若三个数满足

，则称为这三个数的中位数）.

19.（本小题满分12分）

如图（19），四棱锥，底面是以为中心的菱形，底面，，为上一点，且.

（1）求的长；

（2）求二面角的正弦值。

1. （本小题满分12分，（1）问4分，（2）问3分，（3）问5分）

已知函数的导函数为偶函数，且曲线在点处的切线的斜率为.

1. 确定的值；
2. 若，判断的单调性；
3. 若有极值，求的取值范围.

21.

如题（21）图，设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为.

1. 求该椭圆的标准方程；
2. 是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径..

1. （本小题满分12分，（1）问4分，（2）问8分）

设

1. 若，求及数列的通项公式；

（2）若，问：是否存在实数使得对所有成立？证明你的结论。

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。

1.A2.D3.A4.C5.C6.D7.B8.B9.B10.A

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分25分。

11. |7，9|12.13.14. 415.16. [-1，]

三、解答题：满分75分。

17. （本题13分）

解：（Ⅰ）因的图像上相邻两个最高点的距离为，所以的最小正周期，从而；

又因的图像关于直线对称，所以

因为，得，

所以

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

所以

由得，

所以

因此

18.（本题13分）

解：（Ⅰ）由古典概型中的概率计算公式知所求概率为

（Ⅱ）的所以可能值为1，2，3，且

故的分布列为

	1	2	3

从而

19.（本题13分）

解：（Ⅰ）如答（19）图，连结AC，BD，因ABCD为菱形，则，且，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系。

因，

故，，

所以，，，

由，知，

从而，即，

设，则，

因为，

所以，即，所以（舍去），即

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，设平面APM的法向量为，平面PMC的法向量为，

由，得故可取，

由，得故可取，

从而法向量的家教的余弦值为

，

故所求二面角的正弦值为。

20.（本题12分）

解：（Ⅰ）对求导得，

由为偶函数，知，即，

因为，所以，

又，故

（Ⅱ）当时，，那么

故在上为增函数。

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，而，当时等号成立。

下面分三种情况进行讨论。

当时，对任意，此时无极值；

当时，对任意，此时无极值；

当时，令，注意到方程有两根，即有两个根或。

当时，；又当时，，从而在处取得极小值；

综上，若有极值，则的取值范围为。

21.（本题12分）

解：（Ⅰ）设，其中，

由，得，

从而，故，

从而，由得，因此。

所以，故

因此，所求椭圆的标准方程为

（Ⅱ）如答（21）图，设圆心在轴上的圆C与椭圆相交，是两个交点，，，，是圆C的切线，且。由圆和椭圆的对称性，知，

由（Ⅰ）知，所以，，再由得，

由椭圆方程得，即，解得或，

当时，重合，此时题设要求的圆不存在；

当时，过分别与垂直的直线的交点即为圆心C；

由是圆C的切线，且，知，又，故圆C的半径。

22.（本题12分）

（Ⅰ）解法一：，

再由题设条件知

从而是首项为0公差为1的等差数列，

故，即

解法二：，

可写为，，，因此猜想

下面用数学归纳法证明上式：

当时结论成立，

假设时结论成立，即，则

这就是说当时结论成立

所以

（Ⅱ）解法一：设，则，

令，即，解得，

下面用数学归纳法证明加强命题

当时，，，所以，结论成立。

假设时结论成立，即

易知在上为减函数，从而

，即

再由在上为减函数得

故，因此，这就是说，当时结论成立。

综上，符合条件的存在，其中一个值为。

解法二：设，则

先证：①

当时，结论明显成立

假设时结论成立，即

易知在上为减函数，从而

即，这就是说，当时结论成立，故①成立。

再证：②

当时，，，有，即时②成立。

假设时，结论成立，即

由①及在上为减函数，得

，

，

这就是说，当时②成立，所以②对一切成立

由②得，

即，

因此③

又由①、②及在上为减函数得，

即

所以，解得④

综上，由②③④知存在使对一切成立