2014年全国高考理科数学试题及答案-新课标2

2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学

（新课标卷Ⅱ）

第Ⅰ卷

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合M=｛0,1,2｝，N=，则=( )
   1. ｛1｝B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝
2. 设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（ ）
   1. - 5 B. 5 C. - 4+ iD. - 4 - i
3. 设向量a,b满足|a+b|=，|a-b|=，则ab= ( )
   1. 1B. 2 C. 3 D. 5
4. 钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC= ，则AC=( )
   1. 5B.C. 2 D. 1
5. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）
   1. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45
6. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）
   1. B.C.D.
7. 执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S= （ ）
   1. 4 B. 5 C. 6 D. 7
8. 设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=
   1. 0 B. 1 C. 2 D. 3
9. 设满足约束条件，则的最大值为（ ）
   1. 10 B. 8 C. 3 D. 2
10. 设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
    1. B.C.D.
11. 直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，M，N分别是A₁B₁，A₁C₁的中点，BC=CA=CC₁，则BM与AN所成的角的余弦值为（ ）
    1. B.C.D.
12. 设函数.若存在的极值点满足，则m的取值范围是（ ）
    1. B.
       C.D.
       第Ⅱ卷
       本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.
       二.填空题
13. 的展开式中，的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)
14. 函数的最大值为_________.
15. 已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是__________.
    16.设点M（,1），若在圆O:上存在点N，使得∠OMN=45°，则的取值范围是________.
    三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
    17.（本小题满分12分）
    已知数列满足=1，.
    （Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；
    （Ⅱ）证明：.
    18. （本小题满分12分）
    如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.
    （Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
    （Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积.
    19. （本小题满分12分）
    某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：

    年份	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013
    年份代号t	1	2	3	4	5	6	7
    人均纯收入y	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8	5.2	5.9

    
    （Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
    （Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
    附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
    ，
    20. （本小题满分12分）
    设,分别是椭圆的左右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.
    （Ⅰ）若直线MN的斜率为，求C的离心率；
    （Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.
    21. （本小题满分12分）
    已知函数=
    （Ⅰ）讨论的单调性；
    （Ⅱ）设，当时，,求的最大值；
    （Ⅲ）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）
    请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.
    22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲
    如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明：
    （Ⅰ）BE=EC；
    （Ⅱ）ADDE=2
    23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程
    在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，.
    （Ⅰ）求C的参数方程；
    （Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标.
    24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲
    设函数=
    （Ⅰ）证明：2；
    （Ⅱ）若，求的取值范围.
    

    ---

    参考答案
    一、选择题
    1. D2. A3. A4. B5. A6. C

7. D8. D9. B10. D11. C12. C

二、填空题

13.14. 115.16.

17.（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：由得

又，所以是首项为，公比为3的等比数列

，因此的通项公式为

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

因为当时，，所以

于是

所以

18.（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：连结交于点，连结

因为为矩形，所以为的中点，

又为的中点，所以，

平面平面，所以平面

（Ⅱ）因为为矩形，所以两两垂直

如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，为单位长，建立空间直角坐标系，则，

设，则

设为平面的法向量，

则即

可取

又为平面的法向量，由题设，即，解得

因为为的中点，所以三棱锥的高为，三棱锥的体积

19. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由所给数据计算得

，

所求回归方程为

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元。

将2015年的年份代号代入（Ⅰ）中的回归方程，得

，

故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为608千元。

20. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）根据及题设知

将代入，解得（舍去）

故的离心率为

（Ⅱ）由题意，原点为的中点，轴，所以直线与轴的交点是线段的中点，故，即

①

由得

设，由题意知，则

即

代入的方程，得②

将①及代入②得

解得，故

21. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ），等号仅当时成立

所以在单调递增

（Ⅱ），

（ⅰ）当时，，等号仅当时成立，所以在单调递增，而，所以对任意；

（ⅱ）当时，若满足，即时，而，因此当时，。

综上，的最大值为2.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

当时，，；

当时，

所以的近似值为

22.（本小题满分10）

证明：（Ⅰ）连结AB，AC，由题设知PA=PD，故

因为

所以，从而

因此

（Ⅱ）由切割线定理得

因为，所以

由相交弦定理得

所以

23. （本小题满分10）

解：

（Ⅰ）的普通方程为

可得的参数方程为

（为参数，）

（Ⅱ）设由（Ⅰ）知是以为圆心，1为半径的上半圆，因为在点处的切线与垂直，所以直线GD与的斜率相同。

故的直角坐标为，即

24. （本小题满分10）

解：

（Ⅰ）由，有

所以

（Ⅱ）

当时，，由得

当时，，由得

综上，的取值范围是