2014年全国高考理科数学试题及答案-陕西卷

2014年陕西高考数学试题（理）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，则（ ）
   
2. 函数的最小正周期是（ ）
   
3. 定积分的值为（ ）
   
4. 根据右边框图，对大于2的整数，输出数列的通项公式是（ ）
   
   
5. 已知底面边长为1，侧棱长为则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
   
6. 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）
   
7. 下列函数中，满足“”的单调递增函数是（ ）
   1. B.C.D.
8. 原命题为“若互为共轭复数，则”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）
   A.真，假，真 B. 假，假，真 C.真，真，假 D.假，假，假
9. 设样本数据的均值和方差分别为1和4，若（为非零常数，），则的均值和方差分别为（ ）
   1. B.C.D.
10. 如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ）
    
    1. B.

C.D.

第二部分（共100分）

1. 填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.

11.已知则=________.

12.若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______.

13. 设，向量，若，则_______.

14. 观察分析下表中的数据：

多面体	面数（）	顶点数（)	棱数（)
三棱锥	5	6	9
五棱锥	6	6	10
立方体	6	8	12

猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_________.

15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

(不等式选做题)设，且，则的最小值为

（几何证明选做题）如图，中，，以为直径的半圆分别交于点，若,则

（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点到直线的距离是

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）

16. （本小题满分12分）

的内角所对的边分别为.

（I）若成等差数列，证明：；

（II）若成等比数列，求的最小值.

17.（本小题满分12分）

四面体及其三视图如图所示，过棱的中点作平行于，的平面分别交四面体的棱于点.

（I）证明：四边形是矩形；

（II）求直线与平面夹角的正弦值.

18.（本小题满分12分）

在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的 区域（含边界）上

（1）若，求；

（2）设，用表示，并求的最大值.

19.（本小题满分12分）

在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

（1）设表示在这块地上种植1季此作物的利润，求的分布列；

（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元

的概率.

20.（本小题满分13分）

如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为.

1. 求的值；
2. 过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程.

21.（本小题满分14分）

设函数，其中是的导函数.

1. ，求的表达式；
2. 若恒成立，求实数的取值范围；
   （3）设，比较与的大小，并加以证明.
   

   ---

   参考答案
   一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
   1. B2. B3. C4. C5. D

6. C7. D8. B9. A10. A

二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.

11.12.13.

14.15. A. B. 3 C. 1

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）

16. （本小题满分12分）

的内角所对的边分别为.

（I）若成等差数列，证明：；

（II）若成等比数列，求的最小值.

（Ⅰ）证明：因为成等差数列，所以

根据正弦定理，得

又因为，所以

（Ⅱ）解：因为成等比数列，所以

根据余弦定理，得

仅当时，取得最小值，这时三角形为正三角形。

1. （本小题满分12分）

四面体及其三视图如图所示，过棱的中点作平行于，的平面分别交四面体的棱于点.

（I）证明：四边形是矩形；

（II）求直线与平面夹角的正弦值.

（Ⅰ）证明：平面，

平面平面，平面平面

，

同理，

所以，四边形是平行四边形

又平面，

四边形是矩形

（Ⅱ）解：分别以为轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，

所以，，，

设平面的法向量，则，

解得

所以

所以

18.（本小题满分12分）

在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域（含边界）上

（1）若，求；

（2）设，用表示，并求的最大值

解：

（Ⅰ）由题意，

所以解得

所以

（Ⅱ）因为，所以，

即，

两式相减，得，

令，由图知，当直线过点时，取得最大值1，故的最大值为1

19.（本小题满分12分）

在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

（1）设表示在这块地上种植1季此作物的利润，求的分布列；

（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.

解：

（Ⅰ）设表示事件“作物产量为300kg”，表示事件“作物市场价格为6元/kg”，

由题设知

利润=产量市场价格成本

所有可能的取值为

所以的分布列为

	4000	2000	800
	0.3	0.5	0.2

（Ⅱ）设表示事件“第季利润不少于2000元”（=1，2，3），

由题意知相互独立，由（Ⅰ）知，

，

3季的利润均不少于2000元的概率为

；

3季中有2季利润不少于2000元的概率为

；

所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为

0.512+0.384=0.896

1. （本小题满分13分）

如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为.

（1）求的值；

（2）过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程.

解：

（Ⅰ）在的方程中，令，可得，且是上半椭圆的左右顶点。

设的半焦距为，由，及得

所以，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，上半椭圆的方程为

易知，直线与轴补充和也不垂直，设其方程为

代入的方程，整理得

（*）

设点的坐标为，

因为直线过点B，所以是方程（*）的一个根，

由求根公式，得，从而，

所以，点P的坐标为

同理，由得点Q的坐标为

所以

因为，所以，即，

因为，所以，解得，

经检验，符合题意，

故直线的方程为

21.（本小题满分14分）

设函数，其中是的导函数.

（1），求的表达式；

（2）若恒成立，求实数的取值范围；

（3）设，比较与的大小，并加以证明.

解：由题设得，

（Ⅰ）由已知，

，…，可得

下面用数学归纳法证明

① 当时，，结论成立

② 假设时结论成立，即

那么时，

即结论成立

由①②可知，结论对成立。

（Ⅱ）已知恒成立，即恒成立

设，

则

当时，（仅当时等号成立）

所以在上单调递增，又，

所以在上恒成立，

所以时，恒成立（仅当时等号成立）

当时，对有，所以在上单调递减，

所以

即时，存在，使，故知不恒成立，

综上可知，的取值范围是

（Ⅲ）由题设知，

，

比较结果为

证明如下：

证法一：上述不等式等价于，

在（Ⅱ）中取，可得

令，则

下面用数学归纳法证明。

① 当时，，结论成立

② 假设当时结论成立，即

那么，当时，

即结论成立，

由①②可知，结论对成立。

证法二：上述不等式等价于，

在（Ⅱ）中取，可得

令，则

故有，

，

……

，

上述各式相加可得

结论得证。

证法三：如图，是由曲线及轴所围成的曲边梯形的面积，而是图中所示各矩形的面积和。

所以，

结论得证。