2015年全国高考理科数学试题及答案-上海卷

2015年普通高等学校招生全国统一考试

上海 数学试卷（理工农医类）

一、填空题（本大题共有14题，满分56分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．

1．设全集．若集合，，则．

2．若复数满足，其中为虚数单位，则．

3．若线性方程组的增广矩阵为、解为，则．

4．若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则．

5．抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为，则．

6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则其母线与轴的夹角的大小为 ．

7. 方程的解为 ．

8. 在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．

9. 已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的倍，和的轨迹分别为双曲线和．若的渐近线方程为，则的渐近线方程为 ．

10.设为，的反函数，则的最大值为 ．

11. 在的展开式中，项的系数为 （结果用数值表示）．

12. 赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有，，，，的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量和分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则（元）．

13. 已知函数．若存在，，，满足，且（，），则的最小值为 ．

14. 在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．设，，则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

16．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（ ）

A．B．C．D．

17．记方程①：，方程②：，方程③：，其中，，是正实数．当，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）

A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根

C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根

18．设是直线（）与圆在第一象限的交点，则极限（ ）

A．B．C．D．

三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19.（本题满分12分）如图，在长方体中，，，、分别是、的中点．证明、、、四点共面，并求直线与平面所成的角的大小.

20.（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分

如图，，，三地有直道相通，千米，千米，千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）.甲的路线是，速度为千米/小时，乙的路线是，速度为千米/小时.乙到达地后原地等待.设时乙到达地.

（1）求与的值；

（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是千米.当时，求的表达式，并判断在上得最大值是否超过？说明理由.

21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.

已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，记得到的平行四边形的面积为.

（1）设，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；

（2）设与的斜率之积为，求面积的值.

22.（本题满分16分）本题共有3个小题.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

已知数列与满足，.

（1）若，且，求数列的通项公式；

（2）设的第项是最大项，即（），求证：数列的第项是最大项；

（3）设，（），求的取值范围，使得有最大值与最小值，且.

23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期.已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为.设单调递增，，.

（1）验证是以为余弦周期的余弦周期函数；

（2）设．证明对任意，存在，使得；

（3）证明：“为方程在上得解”的充要条件是“为方程在上有解”，并证明对任意都有.

一、填空题：

1. {1，4}2.3. 164. 45. 2

6.7. 28. 1209.10. 4

11. 4512. 0.213. 814.

二、选择题：

15. B16. D17. B18. A

三、解答题：

19.解：

如图，以D为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为、、、、、

因为，

所以，因此直线与共面，

即四点共面

设平面的法向量为，

则，

又，

故解得

取，得平面的一个法向量

又，

故

因此直线与平面所成的角的大小为

20.解：

（1）

记乙到时，甲所在地为，则千米

在中，，

所以（千米）

（2）甲到达B用时1小时；乙到达C用时小时，从A到B总用时小时，

当时，

；

当时，

所以

因为在上的最大值是在上的最大值是，所以在上的最大值是，不超过3.

21.（1）证明：

直线，点到的距离

，

所以

（2）解：

设，则：，设

由得

同理

由（1），

，

整理得

22.

（1）解：由，得，

所以是首项为1，公差为6的等差数列，

故的通项公式为

（2）证：由，得

所以为常数列，，即

因为，所以，即

故的第项是最大项

（3）解：

因为，所以，

当时，

当时，，符合上式

所以

因为，所以

①当时，由指数函数的单调性知，不存在最大、最小值；

②当时，的最大值为3，最小值为-1，而；

③当时，由指数函数的单调性知，的最大值，最小值，由及，得

综上，的取值范围是

23.证：

（1）易见的定义域为，

对任意，，

所以，

即是以为余弦周期的余弦周期函数

（2）由于的值域为，所以对任意都是一个函数值，

即有，使得

若，则由单调递增得到，与矛盾，所以。

同理可证。

故存在使得

（3）若为在上的解，

则，且，，

即为方程在上的解。

同理，若为方程在上的解，则为该方程在上的解。

以下证明最后一部分结论。

由（2）所证知存在，使得而是函数的单调区间，

与之前类似地可以证明：为在上的解当且仅当是方程在上的解，从而在与上的解的个数相同。

故

对于，

而，故

类似地，当时，有

结论成立。