2015年全国高考理科数学试题及答案-北京卷

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2015年北京高考数学（理科）

本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．复数

A．B．C．D．

2．若，满足则的最大值为

A．0B．1C．D．2

3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为

A．B．C．D．

4．设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是

A．B．

C．D．5

6．设是等差数列. 下列结论中正确的是

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

7．如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是

A．

B．

C．

D．

8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

第二部分（非选择题　共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．在的展开式中，的系数为．（用数字作答）

10．已知双曲线的一条渐近线为，则．

11．在极坐标系中，点到直线的距离为．

12．在中，，，，则．

13．在中，点，满足，．若，则；．

14．设函数

①若，则的最小值为；

②若恰有2个零点，则实数的取值范围是．

三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

15．（本小题13分）

已知函数．

(Ⅰ) 求的最小正周期；

(Ⅱ) 求在区间上的最小值．

16．（本小题13分）

，两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：

组：10，11，12，13，14，15，16

组：12，13，15，16，17，14，

假设所有病人的康复时间互相独立，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙．

(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；

(Ⅱ) 如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；

(Ⅲ) 当为何值时，，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）

17．（本小题14分）

如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为的中点．

(Ⅰ) 求证：；

(Ⅱ) 求二面角的余弦值；

(Ⅲ) 若平面，求的值．

18．（本小题13分）

已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求证：当时，；

（Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值．

19．（本小题14分）

已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．

（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；

（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．

20．（本小题13分）

已知数列满足：，，且．

记集合．

（Ⅰ）若，写出集合的所有元素；

（Ⅱ）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；

（Ⅲ）求集合的元素个数的最大值．

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

数学（理）（北京卷）参考答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）A（2）D（3）B（4）B

（5）C（6）C（7）C（8）D

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

（9）40（10）（11）1（12）1

（13）（14）-1

三、解答题（共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：（Ⅰ）因为

所以的最小正周期为

（Ⅱ）因为，所以

当，即时，取得最小值

所以在区间上的最小值为

（16）（共13分）

解：设事件为“甲是A组的第个人”，

事件为“乙是B组的第个人”，

由题意可知

（Ⅰ）由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是

（Ⅱ）设事件为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，由题意知，

因此

（Ⅲ）或

17.（共14分）

解：（Ⅰ）因为是等边三角形，为的中点，所以

又因为平面平面，平面，

所以平面

所以

（Ⅱ）取BC中点G，连接OG

由题设知EFCB是等腰梯形

所以

由（Ⅰ）知平面

又平面，

所以

如图建立空间直角坐标系，

则，，，

，

设平面的法向量为

则即

令，则，，于是

平面的法向量为

所以

由题知二面角为钝角，所以它的余弦值为

（Ⅲ）因为平面，所以，即

因为，，

所以

由及，解得

（18）（共13分）

解：（Ⅰ）因为，所以

又因为，所以曲线在点处的切线方程为

（Ⅱ）令，则

因为，所以在区间上单调递增

所以

即当时，

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，对恒成立

当时，令，则

所以当时，，因此在区间上单调递减

当时，，即

所以当时，并非对恒成立

综上可知，的最大值为2

（19）（共14分）

解：（Ⅰ）由题意得解得

故椭圆的方程为

设

因为，所以

直线的方程为

所以，即

（Ⅱ）因为点与点关于轴对称，所以

设，则

“存在点使得”等价于“存在点使得”，即满足

因为，，

所以

所以或

故在轴上存在点，使得，点的坐标为或

（20）（共13分）

解：（Ⅰ）6，12，24

（Ⅱ）因为集合存在一个元素是3的倍数，所以不妨设是3的倍数

由可归纳证明对任意，是3的倍数

如果，则的所有元素都是3的倍数

如果，因为或，所以是3的倍数，于是是3的倍数。类似可得都是3的倍数，从而对任意，是3的倍数，因此的所有元素都是3的倍数。

综上，若集合存在一个元素是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数。

（Ⅲ）由，可归纳证明

因为是正整数，所以是2的倍数

从而当时，是4的倍数

如果是3的倍数，由（Ⅱ）知对所有正整数，是3的倍数

因此当时，，这时的元素个数不超过5

如果不是3的倍数，由（Ⅱ）知对所有正整数，不是3的倍数

因此当时，，这时的元素个数不超过8

当时，有8个元素

综上可知，集合的元素个数的最大值为8