2021浙江高考数学难不难
06月08日
2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川)
数学(理科)
第Ⅰ卷(共50分)
一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,集合,则( )
A.{x|-1
2.设i是虚数单位,则复数 =( )
A.-iB.-3i
C.i.D.3i
C.-D.
C.D.
5. 过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则( )
(A)(B) (C)6 (D)
(A)144个 (B)120个 (C)96个 (D)72个
7. 设四边形ABCD为平行四边形,,.若点M,N满足,,则( )
(A)20 (B)15 (C)9 (D)6
8.设a,b都是不等于1的正数,则“”是“”的
(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
(A)(B)(C)(D)
第Ⅱ卷(共100分)
二、填空题(每题5分,满分25分,将答案填在答题纸上)
11. 在的展开式中,含的项的系数是 (用数字作答).
12.的值是.
13. 某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:)满足函数关系(为自然对数的底数,k、b为常数)。若该食品在0的保鲜时间设计192小时,在22的保鲜时间是48小时,则该食品在33的保鲜时间是 小时.
14. 如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E、F分别为AB、BC的中点。设异面直线EM与AF所成的角为,则的最大值为 .
15.已知函数,(其中)。对于不相等的实数,设,,
现有如下命题:
(1)对于任意不相等的实数,都有;
(2)对于任意的a及任意不相等的实数,都有;
(3)对于任意的a,存在不相等的实数,使得;
(4)对于任意的a,存在不相等的实数,使得。
其中的真命题有 (写出所有真命题的序号)。
三、解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程演算步骤)
16、(本题满分12分)数列的前项和满足,且成等差数列
(Ⅰ)求数列的通项公式
(Ⅱ)记数列的前项和,求使得成立的最小值。
17、(本题满分12分)某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生,2名女生,A中学推荐了3名男生,4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训,由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人,从参加集训的女生中随机抽取3人组成代表队
(Ⅰ)求A中学至少有一名学生入选代表队的概率
(Ⅱ)某场比赛前,从代表队的6名中随机抽取4名参赛,记X表示参赛的男生人数,求X的分布列于数学期望。
18、(本题满分12分)一个正方体的平面展开图和直观图的示意图如图所示,在正方体中,设BC的中点为M,GH的中点为N
(Ⅰ)请将字母F、G、H标记在正方体的直观意图相应的顶点处(不要求说明理由)
(Ⅱ)证明:直线平面
(Ⅲ)求二面角A-EG-M的余弦值
19、(本题满分12分)如图A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角
(Ⅰ)证明:
(Ⅱ)若A+C=,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5求:的值
20、(本题满分13分)
如图,椭圆E:的离心率是,过点P(0,1)的动直线与椭圆交于A、B两点当直线平行于x轴时,直线被椭圆E截的线段长为
(Ⅰ)求椭圆E的方程
(Ⅱ)在平面直角坐标系中是否存在与点P不同的定点Q,使得恒成立,若存在,求出Q点的坐标,若不存在,说明理由
21、(本题满分14分)已知函数,其中,
(Ⅰ)设是的导函数,讨论函数的单调性
(Ⅱ)证明:存在使得在区间内恒成立,且在区间内有唯一解
参考答案
一、选择题:
1.A2.C3.D4.A5.D
6.B7.C8.B9.B10.D
二、填空题:
11. -4012.13. 2414.15. ①④
三、解答题:
16.解:
(Ⅰ)由已知,有
,
即
从而
又因为成等差数列,即
所以,解得
所以,数列是首项为2,公比为2的等比数列
故
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
所以
由,得,即
因为,
所以
于是,使成立的的最小值为10
17.本题主要考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查运算求解能力、应用意识,考查运用概率与统计的只是与方法分析和解决实际问题的能力。
(Ⅰ)由题意,参加集训的男、女生各有6名
参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为
因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为
(Ⅱ)根据题意,的可能取值为1,2,3
,
,
所以的分布列为
1 | 2 | 3 | |
因此,的数学期望为
18.本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行的判定与性质、空间面面夹角的计算等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力。
(Ⅰ)点F,G,H的位置如图所示
(Ⅱ)连结BD,设O为BD的中点
因为M,N分别是BC,GH的中点,
所以,且,
,且
所以
所以是平行四边形,
从而
又平面平面,
所以平面
(Ⅲ)方法一:
连接,过做于
在正方体中,,
所以
过作平面,
从而
所以是二面角的平面角
设,则
在中,
在中,
所以
即二面角的余弦值为
方法二:
如图,以为坐标原点,分别以方向为轴的正方向,建立空间直角坐标系
设,则,
所以,
设平面的一个法向量为,
由得
取,得
在正方体中,平面,
则可取平面的一个法向量为,
所以,
故二面角的余弦值为
19.本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程、化归与转化等数学思想。
(Ⅰ)
(Ⅱ)由,得
由(Ⅰ),有
连接,
在中,有,
在中,有,
所以
则
于是
连接,同理可得
,
于是
所以,
20.本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想。
(Ⅰ)由已知,点在椭圆上
因此
解得
所以椭圆的方程为
(Ⅱ)当直线与轴平行时,设直线与椭圆相交于两点,
如果存在定点满足条件,则有,即
所以点在轴上,可设点的坐标为
当直线与轴垂直时,设直线与椭圆相交于两点,
则的坐标分别为
由,有,解得,或
所以,若存在不同于点的定点满足条件,则点坐标只可能为
下面证明:对任意直线,均有
当直线的斜率不存在时,由上可知,结论成立。
当直线的斜率存在时,可设直线的方程为的坐标分别为
联立得
其判别式,
所以,
因此
易知,点关于轴对称的点的坐标为
又,
,
所以,即三点共线
所以
故存在与不同的定点,使得恒成立
21.本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想。
(Ⅰ)由已知,函数的定义域为,
,
所以
当,在区间上单调递增,
在区间上单调递减;
当时,在区间上单调递增。
(Ⅱ)由,解得
令
则
故存在,使得
令
由知,函数在区间上单调递增
所以
即
当时,有
由(Ⅰ)知,在区间上单调递增,
故当时,,从而;
当时,,从而
所以,当时,
综上所述,存在,使得在区间内恒成立,且在区间内有唯一解。