上海市黄浦区2015届高三4月模拟考试数学文理试卷

上海市黄浦区2015年高考模拟考

数学试卷(文理合卷)

(2015年4月21日)

考生注意：

1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；

2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；

3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．

一、填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．

1．函数的定义域是　　 　．

2．函数的单调递减区间是 ．

3．已知集合，若，则正实数的取值范围是 ．

4．若二次函数是定义域为的偶函数，则函数的反函数= ．

5．已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边经过点，则的值是 .

6．在△中，内角所对的边分别为，且，则= ．

7．在等差数列中，若，，则正整数 　　　　　　 ．

8．已知点，则直线的点法向式方程是 ．

9．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则双曲线的渐近线方程是 ．

10．已知是球的一条直径，点是上一点，若，平面过点且垂直，截得圆，当圆的面积为时，则球的表面积是 ．

11．若二次函数对一切恒有成立，且，则．

12．(理科)在平面直角坐标系中，直线：，圆 ，则圆心到直线的距离是 ．

(文科) 设点位于线性约束条件所表示的区域内（含边界），则目标函数的最大值是 ．

13．(理科)一个不透明的袋子里装有外形和质地完全一样的5个白球，3个红球，2个黄球，将它们充分混合后，摸得一个白球计2分，摸得一个红球记3分，摸得一个黄球计4分，若用随机变量表示随机摸一个球的得分，则随机变量的数学期望的值是 分．

(文科) 一个不透明的袋中装有大小形状质地完全相同的黑球、红球、白球共10个，从中任意摸出1个球，得到黑球的概率是，则从中任意摸出2个球得到至少1个黑球的概率是 ．

14．(理科)已知点，平面直角坐标系上的动点满足(其中是坐标原点，且)，若动点组成的区域的面积为8，则的最小值是 ．

(文科) 在中，，且，则的数值是 ．

二、选择题(本大题满分20分)　本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．在空间中，下列命题正确的是 ( )．

A．若两直线a,b与直线l所成的角相等，那么a∥b

B．空间不同的三点确定一个平面

C．如果直线l//平面且//平面，那么

D．若直线与平面没有公共点，则直线//平面

16．设实数均不为0，则“成立”是“关于的不等式与的解集相同”的　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　[答] ( )．

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件　C．充要条件　　D．非充分非必要条件

17．若复数同时满足，，则(是虚数单位，是的共轭复数) [答] ( )．

A．B．C．D．

18．已知数列共有5项，满足，且对任意，有仍是该数列的某一项，现给出下列4个命题：

1. ；(2)；(3)数列是等差数列；
   (4)集合中共有9个元素．
   则其中真命题的序号是 　　 　 [答]( 　)．
   ．(1)、(2)、(3)、(4)　　　．(1)、(4)　　．(2)、(3)　　．(1)、(3)、(4)
   三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．
   19．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
   在长方体中，，，过、、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下所示的几何体．
   (理科)(1) 若的中点为，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
   (2)求点D到平面的距离．
   （文科）(1) 求几何体的体积，并画出该几何体的左视图(平行主视图投影所在的平面)； (2)求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
   第19题图
   20．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．
   　　已知函数，函数与函数的图像关于原点对称．
   1. 求的解析式；
   2. (理科)求函数在上的单调递增区间．
      (2)(文科) 当时，求函数的取值范围．
      21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
      　 有一块铁皮零件，其形状是由边长为的正方形截去一个三角形所得的五边形，其中，如图所示．现在需要用这块材料截取矩形铁皮，使得矩形相邻两边分别落在上，另一顶点落在边或边上．设cm，矩形的面积为．
      (1)试求出矩形铁皮的面积关于的函数解析式，
      并写出定义域；
      (2)试问如何截取(即取何值时)，可使得到的矩形的面积最大？
      第21题图
      22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．
      （理科）已知数列满足，对任意都有．
      (1)求数列()的递推公式；
      (2)数列满足()，求通项公式；
      (3)设，问是否存在实数使得数列()是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明你的理由．
      （文科）
      　已知数列满足，对任意都有．
      (1)求数列()的通项公式；
2. 数列满足()，求数列的前项和；
3. 设，求数列()中最小项的值．
   23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．
   已知点，平面直角坐标系上的一个动点满足．设动点的轨迹为曲线．
   1. 求曲线的轨迹方程；
   2. 点是曲线上的任意一点，为圆的任意一条直径，求的取值范围；

(3)（理科）已知点是曲线上的两个动点，若(是坐标原点)，试证明：直线与某个定圆恒相切，并写出定圆的方程．

（文科）已知点是曲线上的两个动点，若(是坐标原点)，试证明：原点到直线的距离是定值．

黄浦区2015年高考模拟考

数学试卷(文理合卷)

参考答案(2015年4月21日)

一、填空题

1．； 8．；

2．； 　　　　 9．；

3． ； 10．；

4．； 11．；

5．； 12．（理科）；（文科）；

6．； 13．（理科）；（文科）；

7．　； 14．（理科）．（文科）或．

二、选择题　15．D　　　16．B　　　17．D　　　18．A

三、解答题

19．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分．

（理科）

解 (1)按如图所示建立空间直角坐标系．由题知，可得点、、、、．　　　　　

由是中点，可得.

于是，．　 设异面直线与所成的角为，则

　　．

　因此，异面直线与所成的角为．

(2)设是平面的法向量．

　　∴

　　又，

∴　取，可得即平面的一个法向量是．

∴

． 　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　

（文科）

解(1)，，

左视图如右图所示． 　

(2)依据题意，有，即．

　∴就是异面直线与所成的角．

　又，

　∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　∴异面直线与所成的角是．

20．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．

解(1)设点是函数的图像上任意一点，由题意可知，点在的

图像上，

于是有．

　　　所以，，．

（理科）

(2)由(1)可知，，记． 　

由，解得，

则函数在形如的区间上单调递增.

结合定义域，可知上述区间中符合题意的整数只能是0和1．

　 令得；时，得.

　 所以，，．

于是，函数在上的单调递增区间是和．

（文科）

(2)由(1)可知，．

　又，

所以，．

察正弦函数的图像，可知，，．

　于是，．

　　所以，当时，函数的取值范围是．

21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

解(1)依据题意并结合图形，可知：

　当点在线段上，即时，； 　当点在线段上，即时，由，得．

于是，．

　　所以，定义域．

(2)由(1)知，当时，；

当时，

　　，当且仅当时，等号成立．

　因此，的最大值为．

答：先在上截取线段，然后过点作的垂线交于点，再过点作的平行线交于点，最后沿与截铁皮，所得矩形面积最大，最大面积为．

22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．

（理科）

解(1)对任意都有成立，

∴令，得．

∴数列()的递推公式是

(2)由(1)可知，数列()是首项和公比都为的等比数列，于是．　

由()，得

()．

故．

当时，．

所以

(3) ∵，

∴当时，，

　　　　　　　，

依据题意，有，即．

当为大于或等于4的偶数时，有恒成立，又随增大而增大，则

，故的取值范围为；

当为大于或等于3的奇数时，有恒成立，故的取值范围为；

当时，由，得．

　　综上可得，所求的取值范围是．

（文科）

解(1)对任意都有成立，，

∴令，得．

∴数列()是首项和公比都为的等比数列．

∴．

　(2) 由()，得

()．

故．

当时，．

于是，

当时，；

当时，

又时，，

综上，有

　(3)，，

　　∴，．

　　∴数列()是单调递增数列，即数列中数值最小的项是，其值为3．

23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．

解(1)依据题意，动点满足.

又，

因此，动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，且．

所以，所求曲线的轨迹方程是．

(2) 设是曲线上任一点．依据题意，可得．

是直径，

．又，

　　　　＝．

　由，可得，即．

　　．

　　的取值范围是．

(另解：结合椭圆和圆的位置关系，有(当且仅当共线时，等号成立)，于是有．)

（理科）

(3)证明　因是曲线上满足的两个动点，由曲线关于原点对称，可知直线也关于原点对称．若直线与定圆相切，则定圆的圆心必在原点．因此，只要证明原点到直线的距离()是定值即可．

设，点，则

　　　．

　　利用面积相等，有，于是．

　　又两点在曲线上，故可得

　　因此，．

　　所以，，即为定值．

所以，直线总与定圆相切，且定圆的方程为：．

（文科）

(3)证明　设原点到直线的距离为，且是曲线上满足的两个动点．

若点在坐标轴上，则点也在坐标轴上，有，即．

若点不在坐标轴上，可设．

由得

设点，同理可得，

于是，，，．

利用，得．

综合可知，总有，即原点到直线的距离为定值．

(方法二：根据曲线关于原点和坐标轴都对称的特点，以及，求出的一组坐标，再用点到直线的距离公式求解，也可以得出结论)