上海市黄浦区2018届高三下学期等级考调研测试（二模）数学

黄浦区2018年高考模拟考

数学试卷

(完卷时间：120分钟 满分：150分) 2018.4

考生注意：

1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；

2．答卷前，考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚，并在规定的区域贴上条形码；

3．本试卷共21道试题，满分150分；考试时间120分钟．

一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.

1．已知集合，若，则非零实数的数值是　 　．

2．不等式的解集是 ．

3．若函数是偶函数，则该函数的定义域是 ．

4．已知的三内角所对的边长分别为，若，则内角的大小是 ．

5．已知向量在向量方向上的投影为，且，则= ．(结果用数值表示)

6．方程的解．

7．已知函数，则函数的单调递增区间是 ．

8．已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，则实数的取值范围是 ．

9．已知某市A社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是 人．

10．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是 ．(结果用数值表示)

11．已知数列是共有个项的有限数列，且满足，若，则．

12．已知函数对任意恒有成立，则代数式的最小值是 ．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

13．在空间中，“直线平面”是“直线与平面内无穷多条直线都垂直 ”的

答( )．

()充分非必要条件 ()必要非充分条件　

()充要条件 ()非充分非必要条件

14． 二项式的展开式中，其中是有理项的项数共有 答( ).

() 4项 () 7项 () 5项 () 6项

15．实数满足线性约束条件则目标函数的最大值是

答( )．

() 0 () 1 ()() 3

16．在给出的下列命题中，是的是　 　 　 　 答( )．

()设是同一平面上的四个不同的点，若，

则点必共线

()若向量是平面上的两个不平行的向量，则平面上的任一向量都可以表示为

，且表示方法是唯一的

()已知平面向量满足，且，

则是等边三角形

()在平面上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量，使得其

中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直

三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．

17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分．

在四棱锥中，，

．

1. 画出四棱锥的主视图；
2. 若，求直线与平面所成角的大小．(结果用反三角函数值表示)

18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知，线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度．

1. 求关于的函数解析式；

(2)记铭牌的截面面积为，试问取何值时，的值最大？并求出最大值．

19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知动点到点的距离为，动点到直线的距离为，且.

1. 求动点的轨迹的方程；

(2)过点作直线交曲线于两点，若的面积(是坐标系原点)，求直线的方程.

20.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

已知函数

1. 求函数的反函数；
2. 试问:函数的图像上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；
3. 若方程的三个实数根满足:，且，求实数的值．

21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．

定义：若数列和满足则称数列是数列的“伴随数列”.

已知数列是数列的伴随数列，试解答下列问题：

1. 若，，求数列的通项公式；
2. 若，为常数，求证：数列是等差数列；
3. 若，数列是等比数列，求的数值．

黄浦区2018年高考模拟考

数学试卷参考答案和评分标准

2018.4

说明：

1．本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．

一、填空题.

1．2．3．4．5．6．

7．8．9．10．11．12．.

二、选择题．

　　　　　　13．14．15．16．

三、解答题．

17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分．

解　(1)主视图如下：

(2) 根据题意，可算得.

又，

按如图所示建立空间直角坐标系，

可得，.

于是，有.

设平面的法向量为，

则即

令，可得，故平面的一个法向量为.

设直线与平面所成角的大小为，则.

所以直线与平面所成角的大小为.

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

解 (1)根据题意，可算得弧()，弧().

又，

于是，，

所以，.

(2) 依据题意，可知

化简，得

.

于是，当(满足条件)时，().

答 所以当米时铭牌的面积最大，且最大面积为平方米.

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

解 (1)结合题意，可得.

又，于是，，化简得

.

因此，所求动点的轨迹的方程是.

(2) 联立方程组

得.

设点，则

于是，弦，

点到直线的距离.

由，得，化简得

，解得，且满足，即都符合题意.

因此，所求直线的方程为.

20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

解 (1)

当时，.

由，得，互换，可得.

当时，.

由，得，互换，可得.

(2) 答 函数图像上存在两点关于原点对称.

设点是函数图像上关于原点对称的点，

则，即，

解得，且满足.

因此，函数图像上存在点关于原点对称.

(3) 考察函数与函数的图像，可得

当时，有，原方程可化为，解得

，且由，得.

当时，有，原方程可化为，化简得

，解得(当时，).

于是，.

由，得，解得.

因为，故不符合题意，舍去；

，满足条件.因此，所求实数.

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．

解 (1)根据题意，有.

由，，得

，.

　　所以，．

证明 (2) ，，

　∴，，．

　∴，．

　∴数列是首项为、公差为的等差数列．

解(3)，，

　　　由，得.

是等比数列，且，设公比为，则.

∴当，即，与矛盾．因此，不成立.

当，即，与矛盾．因此，不成立.

，即数列是常数列，于是，().

.

，数列也是等比数列，设公比为，有.

可化为

，.

，

关于的一元二次方程有且仅有两个非负实数根.

一方面，()是方程的根；另一方面，

若，则无穷多个互不相等的都是该二次方程的根.这与该二次方程有且仅有两个非负实数根矛盾！

，即数列也是常数列，于是，，.

　由，得.

把，代入解得.

．