四川省成都经济技术开发区实验中学校2017届高三5月模拟（一）数学（理）试卷

成都经开区实验中学2017届高考模拟考试试题（一）

数　学(理工类)

注意事项：

1．本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上．

2．回答第1卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷选择题（共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．设集合A={﹣1，1}，集合B={x|ax=1，a∈R}，则使得B⊆A的a的所有取值构成的集合是

A．{0，1}B．{0，﹣1}C．{1，﹣1}D．{﹣1，0，1}

2．已知复数，则

A．的共轭复数为B．的实部为1 C．D．的虚部为

3.一个样本a，3，5，7的平均数是b，且a，b分别是数列{2^n－2}(n∈N^*)的第2项和第4项，则这个样本的方差是

A.3 B.4 C.5 D.6

4．设a，b是不相等的两个正数，且blna﹣alnb=a﹣b，给出下列结论：①a+b﹣ab＞1；②a+b＞2；③+＞2．其中所有正确结论的序号是

A．①②B．①③C．②③D．①②③

5. 已知为如图所示程序框图输出的结果，则二项式

的展开式的常数项是

A．B．

C．D．

6.已知M为不等式组表示的平面区域，直线，当a从-2连续变化到0时，则区域M被直线l扫过的面积为

A.．B．C.D．

7.已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是

A.72 cm³ B.90 cm³

C.108 cm³ D.138 cm³

8. 已知条件；条件直线与圆相切. 则是成立的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

9.倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于点、，交抛物线的准线于点（在、之间），若，则
A.1 B.2 C.3 D.4

10.若双曲线的一个焦点为，过F点的直线与双曲线交于A,B两点，且的中点为，则E的方程为

A．B．C．D．

11．利用计算机产生120个随机正整数，其最高位数字（如：34的最高位数字为3，567的最高位数字为5）的频数分布图如图所示，若从这120个正整数中任意取出一个，设其最高位数字为d（d=1，2，…，9）的概率为P，下列选项中，最能反映P与d的关系的是

A.P=lg（1+）

B．P=

C．P=

D．P=×

12. 已知球O是某几何体的外接球，而该几何体是由一个侧棱长为2的正四棱锥S﹣ABCD与一个高为6的正四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁拼接而成，则球O的表面积为

A．B．64πC．100πD．

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把各题答案的最简形式写在题中的横线上．

13.已知，且，则向量与向量的夹角是

14.已知是第二象限角，为其终边上一点，且，则等于 。

15．已知圆的方程为x²+y²﹣6x=0，过点（1，2）的该圆的三条弦的长a₁，a₂，a₃构成等差数列，则数列a₁，a₂，a₃的公差的最大值是　　．$来&源：

16．我校在高三11月月考中约有1000名理科学生参加考试，数学考试成绩（，满分150分），统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次月考中数学成绩不低于120分的学生约有 人.

三、解答题:（本题包括6小题，共70分。要求写出证明过程或演算步骤）

17．（本题满分12分）在中，内角，，的对边分别是，，，且.

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）点满足，且线段，求的最大值.

18. （本题满分12分）已知，向量，向量，集合．

（1）判断“”是 “”的什么条件；

（2）设命题：若，则．命题：若集合的子集个数为2，则．判断，，的真假，并说明理由．

19.（本题满分12分）如图，在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A₁A＝4，A₁在底面ABC的射影为BC的中点，D为B₁C₁的中点.

1. 证明：A₁D⊥平面A₁BC；
2. 求直线A₁B和平面BB₁C₁C所成的角的正弦值.

20.（本题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：

1. 作出这些数据的频数分布直方图；
   
2. 估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中间值来代表这种产品质量的指标值)；
3. 根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的85%”的规定？

21．（本题满分12分）设a，b∈R，函数， g（x）=e^x（e为自然对数的底数），且函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在x=0处有公共的切线．

（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；

（Ⅲ）若g（x）＞f（x）在区间（﹣∞，0）内恒成立，求a的取值范围．

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号。

22．（本题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数），现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．

（Ⅰ）写出直线l和曲线C的普通方程；

（Ⅱ）已知点P为曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值．

23.（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】

已知函数，．

（1）解不等式；

（2）若对于，，有，，求证：．

成都经开区实验中学2017届高考模拟考试试题（一）

数　学(理工类)参考答案

1—5 DDCDB 6—10 DBBDD 11—12 AC

13.14. 15. 2 16. 200

17．解：（Ⅰ）∵，由正弦定理得，

∴，即，

又∵，∴，∵，∴．

（Ⅱ）在中由余弦定理知：，∴，

∵，∴，即，当且仅当，即，时取等号，所以的最大值为6．

18.解：（1）若，则，∴（舍去），此时，，．

则，∴或，故为假命题．

∴为真命题，为假命题，为真命题．

19.(1)证明　设E为BC的中点，由题意得A₁E⊥平面ABC，所以A₁E⊥AE，因为AB＝AC，所以AE⊥BC.

故AE⊥平面A₁BC.

由D，E分别为B₁C₁，BC的中点，得

DE∥B₁B且DE＝B₁B，从而DE∥A₁A且DE＝A₁A，

所以AA₁DE为平行四边形.于是A₁D∥AE.

又因为AE⊥平面A₁BC，所以A₁D⊥平面A₁BC.

(2)解　作A₁F⊥DE，垂足为F，连接BF.

因为A₁E⊥平面ABC，所以BC⊥A₁E.

因为BC⊥AE，所以BC⊥平面AA₁DE.

所以BC⊥A₁F，A₁F⊥平面BB₁C₁C.

所以∠A₁BF为直线A₁B和平面BB₁C₁C所成的角.

由AB＝AC＝2，∠CAB＝90°，得EA＝EB＝.

由A₁E⊥平面ABC，得A₁A＝A₁B＝4，A₁E＝.

由DE＝BB₁＝4.DA₁＝EA＝，∠DA₁E＝90°，得A₁F＝.

所以sin ∠A₁BF＝.

20.解　(1)

(2)质量指标值的样本平均数为

＝＝100，

质量指标值的样本方差为

s²＝(－20)²×0.06＋(－10)²×0.26＋0×0.38＋10²×0.22＋20²×0.08＝104，

∴这种产品质量指标的平均数估计值为100，方差的估计值为104.

(3)依题意＝68%<80%.

∴该企业生产的这种产品不符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定.

21.（Ⅰ）f'（x）=x²+2ax+b，g'（x）=e^x，

由f'（0）=b=g'（0）=1，得b=1．…

（Ⅱ）f'（x）=x²+2ax+1=（x+a）²+1﹣a²，

当a²≤1时，即﹣1≤a≤1时，f'（x）≥0，从而函数f（x）在定义域内单调递增，

当a²＞1时，，此时

若，f'（x）＞0，则函数f（x）单调递增；

若，f'（x）＜0，则函数f（x）单调递减；

若时，f'（x）＞0，则函数f（x）单调递增．…

（Ⅲ）令h（x）=g'（x）﹣f'（x）=e^x﹣x²﹣2ax﹣1，则h（0）=e⁰﹣1=0．h'（x）=e^x﹣2x﹣2a，令u（x）=h'（x）=e^x﹣2x﹣2a，则u'（x）=e^x﹣2．

当x≤0时，u'（x）＜0，从而h'（x）单调递减，

令u（0）=h'（0）=1﹣2a=0，得．

先考虑的情况，此时，h'（0）=u（0）≥0；

又当x∈（﹣∞，0）时，h'（x）单调递减，所以h'（x）＞0；

故当x∈（﹣∞，0）时，h（x）单调递增；

又因为h（0）=0，故当x＜0时，h（x）＜0，

从而函数g（x）﹣f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递减；

又因为g（0）﹣f（0）=0，所以g（x）＞f（x）在区间（﹣∞，0）恒成立．

接下来考虑的情况，此时，h'（0）＜0，

令x=﹣a，则h'（﹣a）=e^﹣a＞0．

由零点存在定理，存在x₀∈（﹣a，0）使得h'（x₀）=0，

当x∈（x₀，0）时，由h'（x）单调递减可知h'（x）＜0，所以h（x）单调递减，

又因为h（0）=0，故当x∈（x₀，0）时h（x）＞0．

从而函数g（x）﹣f（x）在区间（x₀，0）单调递增；

又因为g（0）﹣f（0）=0，所以当x∈（x₀，0），g（x）＜f（x）．

综上所述，若g（x）＞f（x）在区间（﹣∞，0）恒成立，则a的取值范围是．…

22.【选修4—4：坐标系与参数方程】

解：（Ⅰ）直线l：（其中t为参数），消去参数t得普通方程y=x﹣4．

由ρ=4cosθ得ρ²=4ρcosθ．

由x=ρcosθ， y=ρsinθ以及x²+y²=ρ²，得

x²+（y﹣2）²=4；

（Ⅱ）由x²+（y﹣2）²=4得圆心坐标为（0，2），半径R=2，

则圆心到直线的距离为：d==3，

而点P在圆上，即O′P+PQ=d（Q为圆心到直线l的垂足），

所以点P到直线l的距离最小值为3﹣2．

23．【选修4—5：不等式选讲】

解：（1）；（2）证明见解析.

试题解析：（1）解：，即，解得．

(2)．